Układ równań z parametrami

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Para liczb $x = -1$ i $y = 6$ jest rozwiązaniem układu $\begin{cases} ax + 3y = 20 \\ x + by = 5 \end{cases}$ . Wartość $a\cdot b$ jest równa”, „Dla jakiego $m$ układ jest sprzeczny?”.

Para $(x_0, y_0)$ jest rozwiązaniem, więc spełnia każde równanie – podstaw i wyznacz parametry.
Liczba rozwiązań zależy od tego, czy proste są równoległe: porównaj współczynniki przy $x$ i $y$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Podstaw znane liczby
Za x i y – dane wartości.
2
Rozwiąż równania z parametrami
Każde równanie daje jeden parametr.
3
Oblicz to, o co pytają
Np. iloczyn $a\cdot b$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Współczynniki z rozwiązania

Para $x = 2$ , $y = -1$ jest rozwiązaniem układu $\begin{cases} ax + 3y = 5 \\ 2x - by = 7 \end{cases}$ . Oblicz $a + b$ .

$2a - 3 = 5 \Rightarrow a = 4$ .
$4 + b = 7 \Rightarrow b = 3$ .
$-b\cdot(-1) = +b$ .

Odpowiedź: $a + b = 7$

Przykład 2

Parametr a liczba rozwiązań

Dla jakiego $m$ układ $\begin{cases} x + my = 1 \\ 2x + 4y = 5 \end{cases}$ nie ma rozwiązań?

Drugie równanie podzielone przez $2$ : $x + 2y = \frac{5}{2}$ .
Dla $m = 2$ : $x + 2y = 1$ i $x + 2y = \frac{5}{2}$ – sprzeczność.
Dla $m \neq 2$ współczynniki są różne – jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: $m = 2$

Typowe błędy

Pomylenie, która liczba to $x$ , a która $y$ .
Błąd znaku przy podstawianiu liczby ujemnej: $-b\cdot(-1) = b$ .