Interpretacja geometryczna układu równań

Spis treści

Co musisz wiedzieć

Położenie prostych	Liczba rozwiązań	Rozpoznasz po
przecinają się	jedno (punkt przecięcia)	różne współczynniki kierunkowe $a$
równoległe, różne	brak (układ sprzeczny)	te same $a$ , różne $b$
pokrywają się	nieskończenie wiele	jedno równanie jest wielokrotnością drugiego

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz oba równania jako y = ax + b
$x - 2y = 3 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ .
2
Porównaj współczynniki
Różne a – jeden punkt; te same a – równoległe lub te same proste.
3
Przy rysunku odczytaj punkty
Punkt przecięcia z $Oy$ to $b$ ; drugi punkt da nachylenie.
4
Sprawdź punkt przecięcia
Podstaw odczytany z rysunku punkt do obu równań.

Przykład 1

Proste równoległe

Ile rozwiązań ma układ $\begin{cases} 2x - y = 4 \\ -6x + 3y = 5 \end{cases}$ ?

Odpowiedź: brak rozwiązań (układ sprzeczny)

Przykład 2

Układ z rysunku

Na rysunku dwie proste przecinają się w punkcie $(2, 1)$ . Jedna przechodzi przez $(0, 3)$ , druga przez $(0, -3)$ . Zapisz układ równań.

Pierwsza: $b = 3$ , a przez $(2, 1)$ : $1 = 2a + 3 \Rightarrow a = -1$ . Prosta $y = -x + 3$ .
Druga: $b = -3$ , $1 = 2a - 3 \Rightarrow a = 2$ . Prosta $y = 2x - 3$ .

Odpowiedź: $\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$

Przykład 3

Te same proste

Ile rozwiązań ma układ $\begin{cases} 3x + y = 2 \\ 6x + 2y = 4 \end{cases}$ ?

Odpowiedź: nieskończenie wiele

Mylenie prostych równoległych (brak rozwiązań) z pokrywającymi się (nieskończenie wiele).
Błędne przekształcenie do $y = ax + b$ – zapomnienie o podzieleniu wyrazu wolnego.