Zadania tekstowe z układem równań

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

Zamknięte: „Układem równań prowadzącym do obliczenia $x$ i $y$ jest…”.
Otwarte (2–3 pkt): „Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił… Zapisz obliczenia.”

W treści są dwie nieznane wielkości i dwie informacje o nich. Każda informacja daje jedno równanie.

Typowe pary równań

Sytuacja	Równanie ilości	Równanie wartości
bilety, monety, produkty	$x + y = \text{liczba sztuk}$	$c_1x + c_2y = \text{kwota}$
sady, zespoły z procentami	$x + y = \text{łącznie}$	$0{,}1x + 0{,}2y = \text{łączna część}$
mieszaniny	$x + y = \text{masa}$	$c_1x + c_2y = c\cdot\text{masa}$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Oznacz niewiadome
„ $x$ – liczba biletów normalnych, $y$ – ulgowych”.
2
Ułóż dwa równania
Jedno z ilości, drugie z wartości (kwota, procent, masa).
3
Rozwiąż układ
Zwykle podstawianie z równania ilości.
4
Odpowiedz na pytanie
Sprawdź, czy wynik ma sens (liczby naturalne, dodatnie).

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Monety

W skarbonce są tylko monety $2$ -złotowe i $5$ -złotowe – razem $40$ monet o łącznej wartości $125$ zł. Ile jest monet każdego rodzaju?

$x$ – monety $2$ zł, $y$ – monety $5$ zł: $\begin{cases} x + y = 40 \\ 2x + 5y = 125 \end{cases}$
$x = 40 - y$ : $80 - 2y + 5y = 125 \Rightarrow 3y = 45 \Rightarrow y = 15$ .
$x = 25$ . Sprawdzenie: $50 + 75 = 125$ .

Odpowiedź: $25$ monet po $2$ zł i $15$ monet po $5$ zł

Przykład 2

Procenty

W dwóch sadach rośnie łącznie $1000$ drzew. Uschło $10\%$ drzew w pierwszym sadzie i $20\%$ w drugim – razem $140$ drzew. Ile drzew rosło w każdym sadzie?

$\begin{cases} x + y = 1000 \\ 0{,}1x + 0{,}2y = 140 \end{cases}$
$y = 1000 - x$ : $0{,}1x + 200 - 0{,}2x = 140 \Rightarrow 0{,}1x = 60 \Rightarrow x = 600$ .
$y = 400$ .

Odpowiedź: $600$ i $400$ drzew

Przykład 3

Mieszanina

Ile kilogramów kawy po $40$ zł/kg i po $60$ zł/kg trzeba zmieszać, żeby otrzymać $20$ kg mieszanki po $45$ zł/kg?

$\begin{cases} x + y = 20 \\ 40x + 60y = 45\cdot 20 = 900 \end{cases}$
$40x + 60(20 - x) = 900 \Rightarrow -20x = -300 \Rightarrow x = 15$ .
$y = 5$ .

Odpowiedź: $15$ kg tańszej i $5$ kg droższej

Typowe błędy

Zamiana procentu z „uschło” i „pozostało”: gdy uschło $10\%$ , pozostało $0{,}9x$ .
Odpowiedź tylko o jedną wielkość, gdy pytają o obie (lub odwrotnie).
Pomylenie, która cena należy do której niewiadomej.