Równania i nierówności · typ zadania · temat 6 z 6

Ułamek równy zero – liczba rozwiązań

Ułamek równy zero – rozwiązaniami są miejsca zerowe licznika, które nie zerują mianownika. Typowe zadanie zamknięte z pułapkami.

6 min czytania

Teoria do tego typu zadań: Równania wielomianowe i wymierne

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Równanie $\frac{(x^2 - 3x)(x + 2)}{x^2 - 4} = 0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie…”.

Ułamek równy zero

\frac{L(x)}{M(x)} = 0 \iff L(x) = 0 \ \text{ i } \ M(x) \neq 0

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyznacz miejsca zerowe mianownika
To dziedzina – liczby wykluczone.
2
Wyznacz miejsca zerowe licznika
Każdy czynnik licznika = 0.
3
Odrzuć te, które są wykluczone
Policz pozostałe (bez powtórzeń).

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Dwa odrzucone

Ile rozwiązań ma równanie $\frac{(x^2 - 4x)(x + 1)}{x^2 - 16} = 0$ ?

Mianownik: $x \neq 4$ , $x \neq -4$ .
Licznik: $x(x - 4)(x + 1) = 0 \Rightarrow x \in \{0, 4, -1\}$ .
Odrzucamy $4$ . Zostają $0$ i $-1$ .

Odpowiedź: dwa

Przykład 2

Skracanie nie pomaga

Ile rozwiązań ma równanie $\frac{(x - 3)^2(x + 2)}{(x - 3)(x + 5)} = 0$ ?

Dziedzina: $x \neq 3$ , $x \neq -5$ .
Licznik zeruje się dla $3$ i $-2$ ; $3$ odrzucamy.

Odpowiedź: jedno: $x = -2$

Przykład 3

Mianownik dodatni

Ile rozwiązań ma równanie $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 1} = 0$ ?

Mianownik zawsze dodatni. Licznik: $x = \pm 3$ .

Odpowiedź: dwa

Typowe błędy

Liczenie rozwiązań tylko z licznika, bez sprawdzenia dziedziny.
Skrócenie ułamka przed wyznaczeniem dziedziny i „odzyskanie” wykluczonej liczby.

Na maturze

Koniec lekcji

Oznacz ją jako przeczytaną, żeby odblokować zadania.