Rozwiąż równanie wymierne

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Rozwiąż równanie $\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x}{2x - 2}$ . Zapisz konieczne założenie i obliczenia.”, „Wyznacz wszystkie rozwiązania należące do przedziału…”. Zadanie otwarte za 2–3 pkt.

Założenie: wszystkie mianowniki $\neq 0$ . Zapisz je na początku – jest punktowane osobno.
Proporcja $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad = bc$ (mnożenie na krzyż).
Jeśli mianowniki mają wspólny czynnik (np. $x - 1$ i $2x - 2 = 2(x - 1)$ ), pomnóż przez wspólny mianownik – równanie się upraszcza.
Na końcu porównaj wynik z założeniem i ewentualnie z przedziałem z treści.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz założenie
$x - 1 \neq 0$ i $2x - 2 \neq 0$ , czyli $x \neq 1$ .
2
Pozbądź się mianowników
Mnożenie na krzyż albo przez wspólny mianownik.
3
Rozwiąż powstałe równanie
Liniowe lub kwadratowe.
4
Sprawdź z założeniem
Odrzuć liczby wykluczone; odpowiedz.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wspólny czynnik mianowników

Rozwiąż równanie $\frac{x - 4}{x + 2} = \frac{x}{3x + 6}$ .

Założenie: $x + 2 \neq 0$ i $3x + 6 \neq 0$ , czyli $x \neq -2$ .
$3x + 6 = 3(x + 2)$ . Mnożymy obie strony przez $3(x + 2)$ : $3(x - 4) = x$ .
$3x - 12 = x \Rightarrow x = 6$ . $6 \neq -2$ – rozwiązanie poprawne.

Odpowiedź: $x = 6$

Przykład 2

Rozwiązanie odrzucone

Rozwiąż równanie $\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{4}{x - 1}$ .

Założenie: $x \neq 1$ .
Mnożymy przez $x - 1$ : $x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1$ .
$x = 1$ jest wykluczone założeniem – odrzucamy.

Odpowiedź: brak rozwiązań

Przykład 3

Równanie kwadratowe i przedział

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania $\frac{2}{x - 1} = \frac{x + 3}{x + 1}$ należące do przedziału $(0, +\infty)$ .

Założenie: $x \neq 1$ , $x \neq -1$ .
Na krzyż: $2(x + 1) = (x + 3)(x - 1) \Rightarrow 2x + 2 = x^2 + 2x - 3$ .
$x^2 = 5 \Rightarrow x = -\sqrt{5}$ lub $x = \sqrt{5}$ – oba spełniają założenie.
Do przedziału $(0, +\infty)$ należy tylko $\sqrt{5}$ .

Odpowiedź: $x = \sqrt{5}$

Typowe błędy

Brak zapisanego założenia – utrata punktu nawet przy poprawnym wyniku.
Pozostawienie rozwiązania, które zeruje mianownik.
Mnożenie na krzyż, gdy po jednej stronie jest suma ułamków (najpierw sprowadź do jednego ułamka).