Równania kwadratowe niepełne i iloczynowe

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

Brakuje któregoś wyrazu ( $3x^2 - 12x = 0$ , $4x^2 - 9 = 0$ ) albo równanie jest już iloczynem ( $(x - 2)(3x + 1) = 0$ ) lub kwadratem nawiasu ( $(x + 1)^2 = 9$ ).

Postać	Metoda	Przykład
$ax^2 + bx = 0$	wyłącz $x$	$3x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \lor x = 4$
$ax^2 + c = 0$	$x^2 = -\frac{c}{a}$	$x^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow x = \pm\frac{3}{2}$
$(\ldots)(\ldots) = 0$	każdy czynnik = 0	$x = 2 \lor x = -\frac{1}{3}$
$(x + p)^2 = k$	$x + p = \pm\sqrt{k}$	$x + 1 = \pm 3$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rozpoznaj postać
Którego wyrazu brakuje?
2
Zastosuj szybką metodę
Wyłączenie, pierwiastek albo przyrównanie czynników do zera.
3
Wypisz wszystkie rozwiązania
Pamiętaj o $\pm$ przy pierwiastku.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Brak wyrazu wolnego

Rozwiąż równanie $3x^2 = 12x$ .

$3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0$ .

Odpowiedź: $x = 0$ lub $x = 4$

Przykład 2

Brak wyrazu z x

Rozwiąż równania: a) $4x^2 - 9 = 0$ ; b) $x^2 + 16 = 0$ .

a) $x^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$ lub $x = \frac{3}{2}$ .
b) $x^2 = -16$ – kwadrat nie jest ujemny, brak rozwiązań.

Odpowiedź: a) $x = \pm\frac{3}{2}$ ; b) brak rozwiązań

Przykład 3

Kwadrat nawiasu

Rozwiąż równanie $(2x - 1)^2 = 25$ .

$2x - 1 = 5$ lub $2x - 1 = -5$ .
$x = 3$ lub $x = -2$ .

Odpowiedź: $x = -2$ lub $x = 3$

Typowe błędy

Dzielenie przez $x$ i gubienie rozwiązania $0$ .
Zapomnienie o ujemnym pierwiastku: $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ (brak $-3$ ).
Rozwiązanie $x^2 = -16$ jako $x = \pm 4$ .