Równanie kwadratowe pełne – delta

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Rozwiąż równanie $x(x + 4) = 2x + 15$ ”, „Równanie $2x^2 - 5x - 3 = 0$ ma rozwiązania…”. Równanie kwadratowe pojawia się też w środku wielu innych zadań.

Delta i pierwiastkina karcie wzorów

\Delta = b^2 - 4ac \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

$\Delta > 0$ – dwa rozwiązania; $\Delta = 0$ – jedno: $x = \frac{-b}{2a}$ ; $\Delta < 0$ – brak.
Najpierw wszystko na jedną stronę: $ax^2 + bx + c = 0$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Uporządkuj równanie
Rozwiń nawiasy, przenieś wszystko na lewo.
2
Odczytaj a, b, c
Ze znakami.
3
Policz deltę
$b^2 - 4ac$ – uważaj na minus razy minus.
4
Podstaw do wzorów
Uprość pierwiastek i ułamek.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Dwa rozwiązania

Rozwiąż równanie $2x^2 - 5x - 3 = 0$ .

$a = 2$ , $b = -5$ , $c = -3$ . $\Delta = 25 + 24 = 49$ , $\sqrt{\Delta} = 7$ .
$x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$ , $x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3$ .

Odpowiedź: $x = -\frac{1}{2}$ lub $x = 3$

Przykład 2

Najpierw porządek

Rozwiąż równanie $x(x + 4) = 2x + 15$ .

$x^2 + 4x - 2x - 15 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 15 = 0$ .
$\Delta = 4 + 60 = 64$ , $x_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$ , $x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$ .

Odpowiedź: $x = -5$ lub $x = 3$

Przykład 3

Delta równa zero

Rozwiąż równanie $4x^2 - 12x + 9 = 0$ .

$\Delta = 144 - 144 = 0$ .
$x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ . (Albo: $(2x - 3)^2 = 0$ .)

Odpowiedź: $x = \frac{3}{2}$

Typowe błędy

Liczenie delty z nieuporządkowanego równania (np. $x^2 + 4x = 2x + 15$ ).
$-4ac$ przy ujemnym $c$ : $-4\cdot 2\cdot(-3) = +24$ .
Dzielenie tylko $\sqrt{\Delta}$ przez $2a$ zamiast całego licznika.