Rozwiązywanie układu równań

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} x - 3y + 5 = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases}$ jest para liczb…”, „Oceń prawdziwość: suma $x_0 + y_0$ jest dodatnia…”.

Podstawianie – gdy przy którejś zmiennej stoi $1$ lub $-1$ : wyznacz ją i wstaw do drugiego równania.
Przeciwne współczynniki – pomnóż równania tak, by przy jednej zmiennej stały liczby przeciwne, i dodaj stronami.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Uporządkuj równania
Do postaci $ax + by = c$ ; usuń ułamki.
2
Wybierz metodę
Współczynnik ±1 – podstawianie, inaczej – przeciwne współczynniki.
3
Wyznacz jedną niewiadomą
Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą.
4
Oblicz drugą i sprawdź
Para musi spełniać oba równania.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Podstawianie

Rozwiąż układ $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Z drugiego: $x = y + 1$ .
$2(y + 1) + 3y = 7 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1$ .
$x = 2$ . Sprawdzenie: $4 + 3 = 7$ , $2 - 1 = 1$ .

Odpowiedź: $x = 2$ , $y = 1$

Przykład 2

Przeciwne współczynniki

Rozwiąż układ $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}$

Dodajemy stronami: $8x = 16 \Rightarrow x = 2$ .
$6 + 2y = 12 \Rightarrow y = 3$ .

Odpowiedź: $x = 2$ , $y = 3$

Przykład 3

Układ z ułamkami

Rozwiąż układ $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \\ x - y = 3 \end{cases}$

Pierwsze razy $6$ : $3x + 2y = 24$ .
$x = y + 3$ : $3y + 9 + 2y = 24 \Rightarrow y = 3$ , $x = 6$ .

Odpowiedź: $x = 6$ , $y = 3$

Przykład 4

Znaki rozwiązania bez liczenia do końca

Rozwiązaniem układu $\begin{cases} 10x + 10y = 1 \\ 12x - 12y = 1 \end{cases}$ jest para $(x_0, y_0)$ . Czy $x_0\cdot y_0 > 0$ ?

Dzielimy: $x + y = \frac{1}{10}$ , $x - y = \frac{1}{12}$ .
Dodajemy: $2x = \frac{11}{60}$ , więc $x > 0$ . Odejmujemy: $2y = \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{1}{60} > 0$ .
Obie liczby dodatnie – iloczyn dodatni.

Odpowiedź: tak

Typowe błędy

Wstawienie wyznaczonej zmiennej do tego samego równania, z którego ją wyznaczono (wychodzi $0 = 0$ ).
Pomnożenie przez liczbę tylko jednej strony równania.