Twierdzenie Talesa

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Ramiona kąta o wierzchołku $A$ przecięto prostymi równoległymi $k$ i $l$ …”, „Proste $k \parallel l$ , odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w $O$ …”.

Proste $BC \parallel DE$ przecinają ramiona kąta o wierzchołku $A$.

Twierdzenie Talesa

\frac{|AB|}{|AD|} = \frac{|AC|}{|AE|} = \frac{|BC|}{|DE|}

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zaznacz wierzchołek kąta
Od niego mierzysz odcinki.
2
Zapisz proporcję całych odcinków
$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$ .
3
Rozwiąż
Najpierw dolicz całe odcinki (AD = AB + BD).

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Odcinek równoległy

Na rysunku $BC \parallel DE$ , $|AB| = 4$ , $|BD| = 6$ , $|BC| = 3$ . Oblicz $|DE|$ .

$|AD| = 4 + 6 = 10$ .
$\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AB|} \Rightarrow |DE| = 3\cdot\frac{10}{4} = 7{,}5$ .

Odpowiedź: $7{,}5$

Przykład 2

Klepsydra

Proste $k \parallel l$ . Prosta $m$ przecina je w $A$ i $C$ , prosta $n$ – w $B$ i $D$ ( $A, B \in k$ ). Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w $O$ . $|OA| = 10$ , $|OC| = 4$ , $|OB| = 5$ . Oblicz $|OD|$ .

Trójkąty $OAB$ i $OCD$ są podobne (kąty wierzchołkowe, naprzemianległe): $\frac{|OA|}{|OC|} = \frac{|OB|}{|OD|}$ .
$\frac{10}{4} = \frac{5}{|OD|} \Rightarrow |OD| = 2$ .

Odpowiedź: $2$

Typowe błędy

Proporcja $\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{BD}$ – kawałek zamiast całości.