Trójkąt dowolny – twierdzenie sinusów i cosinusów

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„ $|AB| = 11$ , $|BC| = 12$ , $|\angle ABC| = 60°$ . Oceń: trójkąt jest równoramienny; pole jest równe $33\sqrt{3}$ ”, „Długość boku $BC$ jest równa”.

Twierdzenie sinusówna karcie wzorów

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R

Dane	Narzędzie
dwa boki i kąt między nimi	twierdzenie cosinusów (trzeci bok), pole ½ab sin γ
trzy boki	twierdzenie cosinusów (kąt)
bok i dwa kąty / bok i kąt naprzeciw	twierdzenie sinusów
bok i kąt naprzeciw, szukane $R$	$2R = \frac{a}{\sin\alpha}$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wypisz dane i szukane
Zaznacz, które kąty leżą naprzeciw których boków.
2
Wybierz twierdzenie
Według tabeli.
3
Licz z wartościami szczególnymi
sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 itd.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Dwa boki i kąt

W trójkącie $ABC$ : $|AB| = 8$ , $|BC| = 5$ , $|\angle ABC| = 60°$ . Oblicz $|AC|$ i pole.

$|AC|^2 = 64 + 25 - 2\cdot 8\cdot 5\cdot\frac{1}{2} = 49 \Rightarrow |AC| = 7$ .
$P = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $|AC| = 7$ , $P = 10\sqrt{3}$

Przykład 2

Twierdzenie sinusów

W trójkącie $ABC$ : $|\angle A| = 45°$ , $|\angle B| = 60°$ , $|BC| = 6$ . Oblicz $|AC|$ i promień okręgu opisanego.

$\frac{|AC|}{\sin 60°} = \frac{|BC|}{\sin 45°} \Rightarrow |AC| = \frac{6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{6}$ .
$2R = \frac{6}{\sin 45°} = 6\sqrt{2} \Rightarrow R = 3\sqrt{2}$ .

Odpowiedź: $|AC| = 3\sqrt{6}$ , $R = 3\sqrt{2}$

Typowe błędy

Podstawianie boku nie naprzeciw tego kąta w twierdzeniu sinusów.
cos zamiast sin we wzorze na pole.