Dowody geometryczne

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„W trójkącie $ABC$ … Wykaż, że $|\angle CAB| = 2\cdot|\angle ABE|$ ”, „Wykaż, że stosunek pól trójkątów jest równy $\frac{a}{b}$ ”, „Wykaż, że kąt $DAB$ ma miarę $60°$ ”. Zadanie otwarte za 2 pkt.

Narzędzia dowodowe

Kąty: suma w trójkącie, kąty przy równoległych, kąty w trójkącie równoramiennym.
Trójkąt równoramienny: równe boki ⟺ równe kąty przy podstawie.
Pola: trójkąty o tej samej podstawie i tej samej wysokości mają równe pola; przy wspólnej wysokości stosunek pól = stosunek podstaw.
Podobieństwo i przystawanie trójkątów (cechy kkk, bkb, bbb).

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rysunek i oznaczenia
Zaznacz dane: równe odcinki, kąty proste, równoległość.
2
Wyraź wszystko przez jedną-dwie zmienne
Np. kąt α i kąt β.
3
Szukaj trójkątów równoramiennych i równoległych
Każdy daje nowe równości.
4
Doprowadź do tezy
I zapisz wniosek.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Środkowa równa połowie boku

W trójkącie $ABC$ środkowa $CD$ ma długość równą połowie boku $AB$ . Wykaż, że kąt $ACB$ jest prosty.

$D$ to środek $AB$ , więc $|AD| = |DB| = |CD|$ .
Trójkąt $ADC$ jest równoramienny: $|\angle DAC| = |\angle DCA| = \alpha$ . Trójkąt $BDC$ też: $|\angle DBC| = |\angle DCB| = \beta$ .
W trójkącie $ABC$ : $\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180°$ , bo kąt $ACB = \alpha + \beta$ .
Stąd $\alpha + \beta = 90°$ , czyli $|\angle ACB| = 90°$ .

Odpowiedź: $|\angle ACB| = \alpha + \beta = 90°$ – co należało wykazać.

Przykład 2

Pole trójkąta w równoległoboku

Punkt $P$ leży na boku $CD$ równoległoboku $ABCD$ . Wykaż, że pole trójkąta $ABP$ jest równe połowie pola równoległoboku.

Niech $h$ – odległość między prostymi $AB$ i $CD$ (wysokość równoległoboku).
$P$ leży na $CD$ , więc jego odległość od $AB$ jest równa $h$ – to wysokość trójkąta $ABP$ .
$P_{ABP} = \frac{1}{2}|AB|\cdot h = \frac{1}{2}P_{ABCD}$ .

Odpowiedź: $P_{ABP} = \frac{1}{2}|AB|h = \frac{1}{2}P_{ABCD}$ .

Przykład 3

Równe pola w trapezie

Przekątne trapezu $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ) przecinają się w $E$ . Wykaż, że trójkąty $AED$ i $BEC$ mają równe pola.

Trójkąty $ABD$ i $ABC$ mają wspólną podstawę $AB$ i równe wysokości (odległość $CD$ od $AB$ ), więc $P_{ABD} = P_{ABC}$ .
$P_{AED} = P_{ABD} - P_{ABE}$ oraz $P_{BEC} = P_{ABC} - P_{ABE}$ .
Odejmujemy to samo od równych liczb – wyniki są równe.

Odpowiedź: $P_{AED} = P_{BEC}$ .

Typowe błędy

Dowód „z rysunku” – mierzenie kątów linijką/kątomierzem.
Brak uzasadnień kroków (dlaczego kąty są równe).
Założenie tezy na początku i „wykazanie” jej przez nią samą.