Trapez · Maturka

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„W trapezie równoramiennym przekątna $BD$ ma długość $39$ i tworzy z dłuższą podstawą kąt $\alpha$ , $\cos\alpha = \frac{12}{13}$ . Różnica podstaw jest równa $40$ . Oblicz ramię.” – zadanie otwarte.

W trapezie równoramiennym wysokości odcinają na dłuższej podstawie dwa odcinki długości $\frac{a - b}{2}$ .
Rzut przekątnej na dłuższą podstawę ma długość $\frac{a + b}{2}$ .
Kąty przy tym samym ramieniu sumują się do $180°$ .
Pole: $P = \frac{a + b}{2}\cdot h$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Dorysuj wysokość (lub dwie)
Z wierzchołków krótszej podstawy.
2
Oznacz odcinki na dłuższej podstawie
$\frac{a - b}{2}$ przy ramionach, $b$ w środku.
3
Licz w trójkącie prostokątnym
Pitagoras albo trygonometria.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wysokość i pole

Trapez równoramienny ma podstawy $12$ i $6$ oraz ramię $5$ . Oblicz pole.

Odcinek przy ramieniu: $\frac{12 - 6}{2} = 3$ ; $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ .
$P = \frac{12 + 6}{2}\cdot 4 = 36$ .

Odpowiedź: $36$

Przykład 2

Kąt przy podstawie

Trapez równoramienny ma krótszą podstawę $5$ , ramię $6$ i kąt ostry $60°$ . Oblicz dłuższą podstawę i pole.

Odcinek przy ramieniu: $6\cos 60° = 3$ , wysokość: $6\sin 60° = 3\sqrt{3}$ .
Dłuższa podstawa: $5 + 2\cdot 3 = 11$ ; $P = \frac{11 + 5}{2}\cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $11$ ; $P = 24\sqrt{3}$

Przykład 3

Przekątna i różnica podstaw

W trapezie równoramiennym $ABCD$ przekątna $BD$ ma długość $25$ i tworzy z dłuższą podstawą $AB$ kąt $\alpha$ , $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ . Różnica podstaw jest równa $16$ . Oblicz ramię.

Wysokość $DE$ ( $E$ na $AB$ ): w trójkącie $BED$ : $|BE| = 25\cdot\frac{4}{5} = 20$ , $h = 25\cdot\frac{3}{5} = 15$ .
$|AE| = \frac{a - b}{2} = 8$ .
Ramię: $\sqrt{8^2 + 15^2} = 17$ .

Odpowiedź: $17$

Typowe błędy

Przyjęcie odcinka przy ramieniu jako $a - b$ zamiast $\frac{a - b}{2}$ .
Liczenie pola bez wysokości (z ramienia).