Styczna do okręgu

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Proste $k$ i $l$ są styczne do okręgu w $A$ i $B$ , przecinają się w $S$ pod kątem $76°$ . Miara kąta $OBA$ jest równa”, „Styczna w $A$ tworzy z cięciwą $AB$ kąt $32°$ …”.

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu są równe: $|SA| = |SB|$ .
W czworokącie $OASB$ dwa kąty są proste, więc $|\angle AOB| = 180° - |\angle ASB|$ .
Kąt między styczną a cięciwą = kąt wpisany oparty na tej cięciwie = połowa kąta środkowego.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Dorysuj promienie do punktów styczności
Zaznacz kąty proste.
2
Wykorzystaj czworokąt OASB lub trójkąt równoramienny
Suma kątów 360° / 180°.
3
Licz kąty lub odległości (Pitagoras)
Promień, odcinek stycznej i odległość od środka tworzą trójkąt prostokątny.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Dwie styczne

Styczne w punktach $A$ i $B$ do okręgu o środku $O$ przecinają się w $S$ pod kątem $50°$ . Oblicz $|\angle OAB|$ .

$|\angle AOB| = 180° - 50° = 130°$ .
Trójkąt $AOB$ równoramienny: $|\angle OAB| = \frac{180° - 130°}{2} = 25°$ .

Odpowiedź: $25°$

Przykład 2

Styczna i cięciwa

Styczna w punkcie $A$ tworzy z cięciwą $AB$ kąt $40°$ . Oblicz kąt środkowy $AOB$ .

$|\angle OAB| = 90° - 40° = 50°$ , trójkąt $AOB$ równoramienny.
$|\angle AOB| = 180° - 100° = 80°$ .

Odpowiedź: $80°$

Przykład 3

Długość odcinka stycznej

Punkt $P$ leży w odległości $13$ od środka okręgu o promieniu $5$ . Oblicz długość odcinka stycznej z $P$ .

$\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ .

Odpowiedź: $12$

Typowe błędy

Brak kąta prostego między promieniem a styczną w obliczeniach.
$|\angle AOB| = |\angle ASB|$ – te kąty dopełniają się do $180°$ .