Kąt wpisany i kąt środkowy

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

Rysunek okręgu ze środkiem $O$ i kilkoma punktami, pytanie o miarę kąta. „Kąt $ACO$ ma miarę $70°$ . Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa”, „ $\beta$ jest o $40°$ większy od $\alpha$ …”.

Kąt wpisany $\alpha$ i środkowy $2\alpha$ oparte na tym samym łuku $AB$.

Kąt wpisany = połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest prosty.
Trójkąt z dwoma promieniami ( $OA$ , $OB$ ) jest równoramienny – kąty przy $A$ i $B$ są równe.
Wielokąt foremny wpisany: $n$ boków dzieli okrąg na $n$ łuków po $\frac{360°}{n}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zaznacz łuk, na którym opiera się szukany kąt
Końce łuku = końce ramion kąta.
2
Znajdź kąt środkowy na tym łuku
Często przez trójkąt równoramienny z promieniami.
3
Podziel przez 2 (lub pomnóż)
Wpisany ↔ środkowy.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Trójkąt z promieniami

Punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą na okręgu o środku $O$ ; $C$ leży na dłuższym łuku $AB$ . Kąt $OAB$ ma miarę $25°$ . Oblicz kąt $ACB$ .

Trójkąt $AOB$ równoramienny: $|\angle OBA| = 25°$ , $|\angle AOB| = 180° - 50° = 130°$ .
$|\angle ACB| = \frac{130°}{2} = 65°$ .

Odpowiedź: $65°$

Przykład 2

Kąt oparty na średnicy

$AB$ jest średnicą okręgu, $C$ leży na okręgu, $|\angle ABC| = 35°$ . Oblicz $|\angle BAC|$ .

$|\angle ACB| = 90°$ (oparty na średnicy).
$|\angle BAC| = 180° - 90° - 35° = 55°$ .

Odpowiedź: $55°$

Przykład 3

Zależność między kątami

Kąt środkowy $\beta$ i kąt wpisany $\alpha$ oparte są na tym samym łuku, a $\beta - \alpha = 35°$ . Wyznacz $\beta$ .

$\beta = 2\alpha$ , więc $2\alpha - \alpha = 35° \Rightarrow \alpha = 35°$ .

Odpowiedź: $\beta = 70°$

Przykład 4

Wielokąt foremny

Na dwunastokącie foremnym $ABCDEFGHIJKL$ opisano okrąg. Oblicz miarę kąta wpisanego $AFD$ .

Każdy łuk między sąsiednimi wierzchołkami ma $\frac{360°}{12} = 30°$ .
Kąt $AFD$ opiera się na łuku $AD$ (nie zawierającym $F$ ): $3\cdot 30° = 90°$ .
Kąt wpisany: $\frac{90°}{2} = 45°$ .

Odpowiedź: $45°$

Typowe błędy

Kąt wpisany równy środkowemu (zapomnienie o połowie).
Wybranie złego łuku (krótszego zamiast dłuższego).