Równoległość i prostopadłość prostych z parametrem

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Proste $k\colon y = (m - 2)x + 5$ i $l\colon y = -4x + (m + 3)$ są równoległe, gdy $m$ jest równe”, „Proste $(m - 1)x + 3y + 5 = 0$ i $6x + y + 7 = 0$ są równoległe, gdy…”.

Równoległe: przyrównaj współczynniki przy $x$ (w postaci $y = ax + b$ ).
Prostopadłe: iloczyn współczynników $= -1$ .
Postać ogólną $Ax + By + C = 0$ przekształć: $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz obie proste w postaci y = ax + b
Postać ogólną najpierw przekształć.
2
Ułóż równanie z warunku
a₁ = a₂ albo a₁·a₂ = −1.
3
Rozwiąż i sprawdź
Podstaw wynik do obu prostych i porównaj też wyrazy wolne.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Równoległość

Dla jakiego $m$ proste $y = (2m + 1)x - 3$ i $y = 5x + 2$ są równoległe?

$2m + 1 = 5 \Rightarrow m = 2$ .

Odpowiedź: $m = 2$

Przykład 2

Prostopadłość

Dla jakiego $m$ proste $y = (m - 3)x + 1$ i $y = \frac{1}{2}x - 4$ są prostopadłe?

$(m - 3)\cdot\frac{1}{2} = -1 \Rightarrow m - 3 = -2 \Rightarrow m = 1$ .

Odpowiedź: $m = 1$

Przykład 3

Postać ogólna

Dla jakiego $m$ proste $(m + 2)x + 2y - 1 = 0$ i $y = 3x$ są równoległe?

$y = -\frac{m + 2}{2}x + \frac{1}{2}$ .
$-\frac{m + 2}{2} = 3 \Rightarrow m = -8$ .

Odpowiedź: $m = -8$

Przykład 4

Prosta przez punkty z parametrem

Prosta przez $A = (0, 1)$ i $B = (m, 2m)$ jest równoległa do $y = 3x$ . Wyznacz $m$ .

$\frac{2m - 1}{m} = 3 \Rightarrow 2m - 1 = 3m \Rightarrow m = -1$ .

Odpowiedź: $m = -1$

Typowe błędy

Porównywanie wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych.
Błąd przy przekształcaniu postaci ogólnej (zapomnienie o dzieleniu przez współczynnik przy $y$ ).