Prosta równoległa lub prostopadła przez punkt

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Prosta przechodząca przez $P$ i równoległa do prostej $k$ ma równanie”, „Prosta $k$ jest prostopadła do $l$ i przechodzi przez $P = (6, 0)$ ”, „Symetralna odcinka $AB$ przecina oś $Ox$ w punkcie $P$ . Oblicz…”.

Warunki dla y = a₁x + b₁ i y = a₂x + b₂na karcie wzorów

\text{równoległe: } a_1 = a_2, \qquad \text{prostopadłe: } a_1\cdot a_2 = -1

Prostopadła: $a_2 = -\frac{1}{a_1}$ – odwróć i zmień znak ( $\frac{3}{2} \to -\frac{2}{3}$ ).
Symetralna odcinka $AB$ : prostopadła do $AB$ i przechodzi przez środek $AB$ .
Równanie w postaci ogólnej (np. $y - 1 = -2x$ ) najpierw przekształć do $y = ax + b$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Odczytaj a danej prostej
Z postaci kierunkowej.
2
Wyznacz a szukanej
Takie samo albo −1/a.
3
Podstaw punkt i wyznacz b
Współrzędne punktu wstaw do y = ax + b.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Równoległa i prostopadła

Dana jest prosta $k\colon y = -2x + 5$ i punkt $P = (3, 1)$ . Wyznacz prostą równoległą i prostopadłą do $k$ przez $P$ .

Równoległa: $a = -2$ , $1 = -6 + b \Rightarrow b = 7$ .
Prostopadła: $a = \frac{1}{2}$ , $1 = \frac{3}{2} + b \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $y = -2x + 7$ ; $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Przykład 2

Symetralna

$A = (-1, 2)$ , $B = (3, 6)$ . Wyznacz symetralną odcinka $AB$ i punkt jej przecięcia z osią $Ox$ .

Środek: $(1, 4)$ ; $a_{AB} = \frac{4}{4} = 1$ , więc symetralna ma $a = -1$ .
$4 = -1 + b \Rightarrow b = 5$ : $y = -x + 5$ .
$y = 0 \Rightarrow x = 5$ .

Odpowiedź: $y = -x + 5$ , punkt $(5, 0)$

Przykład 3

Wzajemne położenie

Jak położone są proste $k\colon y = \frac{1}{2}x + 5$ i $l\colon y - 1 = -2x$ ?

$l\colon y = -2x + 1$ ; $\frac{1}{2}\cdot(-2) = -1$ .

Odpowiedź: są prostopadłe

Typowe błędy

Prostopadła z $a_2 = -a_1$ (tylko zmiana znaku) albo $a_2 = \frac{1}{a_1}$ (tylko odwrócenie).
Symetralna przez punkt A zamiast przez środek odcinka.