Okrąg a osie układu i odległości

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Okrąg o środku $S = (4, -2)$ jest styczny do osi $Ox$ . Okrąg jest określony równaniem”, „Okrąg przecina oś $Oy$ w punktach…”, „Który okrąg nie ma punktu wspólnego z osiami?”.

Odległość środka $S = (a, b)$ od osi $Ox$ to $|b|$ , od osi $Oy$ – $|a|$ .
Okrąg styczny do $Ox$ : $r = |b|$ ; do $Oy$ : $r = |a|$ .
Liczba punktów wspólnych z osią: odległość $>$ r – zero, $= r$ – jeden, $< r$ – dwa.
Punkty przecięcia z $Oy$ : podstaw $x = 0$ ; z $Ox$ : $y = 0$ .
Punkt $P$ : $|SP| < r$ – wewnątrz, $= r$ – na okręgu, $> r$ – na zewnątrz.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Odczytaj środek i promień
Znaki środka odwrotne niż w nawiasach, r = √(prawa strona).
2
Porównaj odległość z promieniem
Od osi lub od punktu.
3
Przy punktach przecięcia – podstaw 0
Rozwiąż równanie kwadratowe.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Styczny do osi Ox

Okrąg o środku $S = (-3, 5)$ jest styczny do osi $Ox$ . Zapisz jego równanie.

$r = |5| = 5$ .

Odpowiedź: $(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

Przykład 2

Przecięcie z osią Oy

Wyznacz punkty wspólne okręgu $(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 13$ z osią $Oy$ .

$x = 0$ : $9 + (y - 3)^2 = 13 \Rightarrow (y - 3)^2 = 4$ .
$y = 1$ lub $y = 5$ .

Odpowiedź: $(0, 1)$ i $(0, 5)$

Przykład 3

Liczba punktów wspólnych z osiami

Ile punktów wspólnych z osiami ma okrąg $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 4$ ?

$S = (1, -3)$ , $r = 2$ .
Oś $Ox$ : odległość $3 > 2$ – brak. Oś $Oy$ : odległość $1 < 2$ – dwa punkty.

Odpowiedź: dwa (oba na osi $Oy$ )

Typowe błędy

Styczny do $Ox$ , a promień $= |a|$ – pomylenie osi.