Symetria okręgu i wzajemne położenie okręgów

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Okrąg $\mathcal{K}$ jest obrazem okręgu $\mathcal{O}$ w symetrii względem osi $Oy$ . Okrąg $\mathcal{K}$ jest określony równaniem”, „…w symetrii środkowej względem początku układu”.

Symetria	Punkt (a, b) przechodzi na
względem osi $Ox$	$(a, -b)$
względem osi $Oy$	$(-a, b)$
względem początku układu	$(-a, -b)$

Przekształcasz tylko środek – promień się nie zmienia.
Dwa okręgi: $d = |S_1S_2|$ . $d = r_1 + r_2$ – styczne zewnętrznie; $d > r_1 + r_2$ – rozłączne zewnętrznie; $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ – przecinają się.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Odczytaj środek i promień
Znaki środka odwrotne niż w nawiasach, r = √(prawa strona).
2
Przekształć środek
Według tabeli.
3
Zapisz nowe równanie
Ten sam promień.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Symetria względem Oy

Okrąg $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$ odbito symetrycznie względem osi $Oy$ . Zapisz równanie obrazu.

$S = (-1, 2) \to (1, 2)$ , $r = 3$ .

Odpowiedź: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$

Przykład 2

Okrąg opisany na kwadracie po symetrii

$A = (-1, 1)$ i $C = (5, 9)$ są końcami przekątnej kwadratu. Wyznacz równanie okręgu opisanego na obrazie tego kwadratu w symetrii względem osi $Ox$ .

Środek kwadratu $(2, 5)$ , promień $= \frac{|AC|}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .
Symetria względem $Ox$ : środek $(2, -5)$ .

Odpowiedź: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 25$

Przykład 3

Dwa okręgi

Jak położone są okręgi $(x - 1)^2 + y^2 = 4$ i $(x - 6)^2 + y^2 = 9$ ?

$d = 5$ , $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$ .

Odpowiedź: styczne zewnętrznie

Typowe błędy

Zmiana znaku obu współrzędnych przy symetrii osiowej.
Zmiana promienia przy symetrii.