Wyznaczanie równania okręgu

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Okrąg o środku $S = (-1, 2)$ i promieniu $3$ jest określony równaniem”, „Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu…”, „Punkt $P = (0, 0)$ leży na okręgu o środku $S = (2, 4)$ …”.

Równanie okręguna karcie wzorów

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

$S = (a, b)$ – środek, $r$ – promień.

Odczyt: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$ → $S = (-1, 2)$ , $r = 3$ (znaki odwrotne niż w nawiasach).
Średnica $AB$ : środek = środek $AB$ , $r = \frac{|AB|}{2}$ .
Punkt na okręgu: $r = |SP|$ .
Punkt należy do okręgu, gdy spełnia równanie.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyznacz środek
Dany albo środek średnicy.
2
Wyznacz r²
Często nie trzeba liczyć pierwiastka.
3
Zapisz równanie
Uważaj na znaki w nawiasach.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Środek i promień

Zapisz równanie okręgu o środku $S = (2, -5)$ i promieniu $3$ .

$(x - 2)^2 + (y - (-5))^2 = 3^2$ .

Odpowiedź: $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 9$

Przykład 2

Punkt na okręgu

Punkt $P = (0, 0)$ leży na okręgu o środku $S = (2, 4)$ . Zapisz równanie okręgu.

$r^2 = 2^2 + 4^2 = 20$ .

Odpowiedź: $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$

Przykład 3

Średnica

Odcinek o końcach $A = (-2, 3)$ i $B = (4, -5)$ jest średnicą okręgu. Zapisz jego równanie i sprawdź, czy $(4, 3)$ leży na okręgu.

$S = (1, -1)$ , $|AB| = 10$ , $r = 5$ : $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$ .
$(4 - 1)^2 + (3 + 1)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓.

Odpowiedź: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$ ; punkt leży na okręgu

Przykład 4

Uzupełnianie do kwadratu

Wyznacz środek i promień okręgu $x^2 - 6x + y^2 + 4y - 3 = 0$ .

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0$ .
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ .

Odpowiedź: $S = (3, -2)$ , $r = 4$

Typowe błędy

Prawa strona $r$ zamiast $r^2$ .
Znaki środka: z $(x + 1)^2$ odczytanie $a = 1$ .
Promień równy całej średnicy.