Brakujący wierzchołek figury

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„ $A = (-1, -4)$ jest wierzchołkiem równoległoboku, $S = (2, 2)$ – jego środkiem symetrii. Długość przekątnej $AC$ jest równa”, „Przekątne kwadratu przecinają się w $S = (1, 3)$ , $A = (4, -1)$ . Przekątna ma długość”.

Przekątne równoległoboku (kwadratu, rombu, prostokąta) dzielą się na połowy – punkt przecięcia $S$ to środek obu przekątnych.
$C = 2S - A$ , $D = 2S - B$ .
Bez $S$ : $D = A + C - B$ (bo $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ ).
Przekątna $= 2|AS|$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Znajdź środek przekątnych
Dany lub ze środka AC.
2
Wyznacz brakujące wierzchołki
2S − znany koniec.
3
Oblicz potrzebne długości
Wzór na długość odcinka.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Równoległobok

W równoległoboku $ABCD$ : $A = (1, 1)$ , $B = (7, 3)$ , przekątne przecinają się w $S = (5, 5)$ . Wyznacz $C$ , $D$ i $|BC|$ .

$C = 2S - A = (9, 9)$ , $D = 2S - B = (3, 7)$ .
$|BC| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ .

Odpowiedź: $C = (9, 9)$ , $D = (3, 7)$ , $|BC| = 2\sqrt{10}$

Przykład 2

Kwadrat

Przekątne kwadratu $ABCD$ przecinają się w $S = (2, 6)$ , a $A = (-1, 2)$ . Oblicz długość przekątnej i boku.

$|AS| = \sqrt{9 + 16} = 5$ , przekątna $10$ .
Bok: $\frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ .

Odpowiedź: przekątna $10$ , bok $5\sqrt{2}$

Typowe błędy

$C = S - A$ zamiast $2S - A$ .
Przekątna $= |AS|$ – to tylko połowa.