Długość i środek odcinka

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Odcinek $AB$ , gdzie $A = (4, -15)$ i $B = (-20, y_B)$ , jest średnicą okręgu o środku $S = (-8, -6)$ . Współrzędna $y_B$ jest równa”, „Punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $|AP| : |PB| = 1 : 3$ ”.

Długość i środek odcinkana karcie wzorów

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}, \qquad S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Brakujący koniec: $B = 2S - A$ , czyli $x_B = 2x_S - x_A$ , $y_B = 2y_S - y_A$ .
Punkt $P$ dzielący $AB$ w stosunku $1 : k$ : wektor $\overrightarrow{AB} = (k + 1)\cdot\overrightarrow{AP}$ .
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym = środek przeciwprostokątnej.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wypisz współrzędne
Ze znakami.
2
Podstaw do wzoru
Różnice w nawiasach, potem kwadraty.
3
Uprość pierwiastek
$\sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Długość i środek

Oblicz długość i środek odcinka o końcach $A = (-2, 3)$ , $B = (4, -5)$ .

$|AB| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10$ .
$S = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{3 - 5}{2}\right) = (1, -1)$ .

Odpowiedź: $|AB| = 10$ , $S = (1, -1)$

Przykład 2

Brakujący koniec

Środkiem odcinka $AB$ jest $S = (1, 2)$ , a $A = (-3, 5)$ . Wyznacz $B$ .

$x_B = 2\cdot 1 - (-3) = 5$ , $y_B = 2\cdot 2 - 5 = -1$ .

Odpowiedź: $B = (5, -1)$

Przykład 3

Podział w stosunku

$A = (2, 1)$ , $P = (4, 4)$ , $|AP| : |PB| = 1 : 2$ . Wyznacz $B$ .

$\overrightarrow{AP} = (2, 3)$ , a $\overrightarrow{AB} = 3\cdot\overrightarrow{AP} = (6, 9)$ .
$B = (2 + 6, 1 + 9)$ .

Odpowiedź: $B = (8, 10)$

Typowe błędy

Odejmowanie zamiast dodawania we wzorze na środek.
Gubienie minusa: $(-8)^2 = 64$ , a nie $-64$ .