Pola i obwody figur w układzie współrzędnych

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„ $A$ i $C$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Pole kwadratu jest równe”, „ $K$ i $L$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Pole trójkąta jest równe”.

Kwadrat z przekątnej $d$ : $P = \frac{d^2}{2}$ , bok $\frac{d}{\sqrt{2}}$ .
Kwadrat z boku (kolejne wierzchołki): bok $= |AB|$ .
Trójkąt równoboczny o boku $a = |KL|$ : $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ .
Trójkąt z podstawą na osi lub równoległą do osi: podstawa i wysokość odczytane ze współrzędnych.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Ustal, które punkty to wierzchołki sąsiednie, a które przeciwległe
Bok czy przekątna?
2
Oblicz potrzebną długość
Najlepiej jej kwadrat.
3
Podstaw do wzoru na pole / obwód
Kwadrat: d²/2 lub a²; trójkąt równoboczny: a²√3/4.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Kwadrat z przekątnej

$A = (-2, 1)$ i $C = (4, 5)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Oblicz pole.

$d^2 = 6^2 + 4^2 = 52$ .
$P = \frac{52}{2} = 26$ .

Odpowiedź: $26$

Przykład 2

Trójkąt równoboczny

$K = (0, 0)$ i $L = (4, 4)$ są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Oblicz jego pole.

$a^2 = 16 + 16 = 32$ .
$P = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}$ .

Odpowiedź: $8\sqrt{3}$

Przykład 3

Trójkąt z podstawą na osi

Oblicz pole trójkąta $A = (-2, 0)$ , $B = (4, 0)$ , $C = (1, 5)$ .

Podstawa $|AB| = 6$ , wysokość = odległość $C$ od osi $Ox$ = $5$ .

Odpowiedź: $15$

Przykład 4

Obwód kwadratu

$A = (1, 2)$ i $B = (4, 6)$ są kolejnymi wierzchołkami kwadratu. Oblicz obwód i pole.

$|AB| = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Odpowiedź: obwód $20$ , pole $25$

Typowe błędy

Potraktowanie przekątnej jako boku (lub odwrotnie).