Zbiór wartości i monotoniczność funkcji kwadratowej

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział”, „Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale”, „Wybierz dwie funkcje, których zbiorem wartości jest $(-\infty, 2]$ ”.

	$a > 0$ (ramiona w górę)	$a < 0$ (ramiona w dół)
zbiór wartości	$[q, +\infty)$	$(-\infty, q]$
maleje	$(-\infty, p]$	$[p, +\infty)$
rośnie	$[p, +\infty)$	$(-\infty, p]$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyznacz wierzchołek (p, q)
Z postaci kanonicznej lub ze wzorów.
2
Ustal znak a
Kierunek ramion.
3
Zapisz z tabeli
Zbiór wartości z q, monotoniczność z p.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Ramiona w dół

Dla $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ wyznacz zbiór wartości i przedziały monotoniczności.

$p = \frac{-4}{-4} = 1$ , $q = f(1) = -2 + 4 + 1 = 3$ .
$a < 0$ : $ZW = (-\infty, 3]$ , rośnie w $(-\infty, 1]$ , maleje w $[1, +\infty)$ .

Odpowiedź: $ZW = (-\infty, 3]$ ; rosnąca w $(-\infty, 1]$ , malejąca w $[1, +\infty)$

Przykład 2

Z postaci kanonicznej

Zbiorem wartości funkcji $f(x) = 3(x - 2)^2 - 5$ jest

$a = 3 > 0$ , $q = -5$ .

Odpowiedź: $[-5, +\infty)$

Przykład 3

Wybór funkcji

Które z funkcji mają zbiór wartości $(-\infty, 2]$ : A. $f(x) = -(x - 1)^2 + 2$ , B. $g(x) = (x + 2)^2 - 2$ , C. $h(x) = 2 - x^2$ ?

A: $a < 0$ , $q = 2$ ✓. B: $a > 0$ ✗. C: $-x^2 + 2$ : $a < 0$ , $q = 2$ ✓.

Odpowiedź: A i C

Typowe błędy

Zapis zbioru wartości z $p$ zamiast $q$ .
Odwrotny kierunek ramion przy $a < 0$ .