Miejsca zerowe, postać iloczynowa i symetria paraboli

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Jednym z miejsc zerowych jest $-5$ , pierwsza współrzędna wierzchołka to $3$ . Drugim miejscem zerowym jest”.
„Liczba $t$ spełnia warunki $f(t) = f(-9)$ i $t \neq -9$ . Liczba $t$ jest równa”.
„Wybierz dwie postacie, w których można zapisać wzór $f$ ”.
„Zapisz zbiór argumentów, dla których $f$ przyjmuje wartości ujemne”.

Postać iloczynowana karcie wzorów

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2), \qquad p = \frac{x_1 + x_2}{2}

Symetria paraboli

Punkty o równych wartościach leżą symetrycznie względem osi $x = p$ : jeśli $f(s) = f(t)$ i $s \neq t$ , to $\frac{s + t}{2} = p$ , czyli $t = 2p - s$ . Tak samo z miejscami zerowymi.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wybierz najwygodniejszą postać
Iloczynowa – miejsca zerowe; kanoniczna – wierzchołek; ogólna – c = f(0).
2
Korzystaj z symetrii
$x_2 = 2p - x_1$ .
3
Przechodź między postaciami
Wymnóż nawiasy, żeby dostać postać ogólną; podstaw p, żeby dostać q.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Trzy postacie

Funkcja $f(x) = 2(x - 1)(x + 3)$ . Wyznacz miejsca zerowe, wierzchołek i postać ogólną.

Miejsca zerowe: $1$ i $-3$ .
$p = \frac{1 + (-3)}{2} = -1$ , $q = f(-1) = 2\cdot(-2)\cdot 2 = -8$ .
Postać ogólna: $2(x^2 + 2x - 3) = 2x^2 + 4x - 6$ .

Odpowiedź: $x_1 = 1$ , $x_2 = -3$ , $W = (-1, -8)$ , $f(x) = 2x^2 + 4x - 6$

Przykład 2

Drugie miejsce zerowe

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest $-5$ , a oś symetrii wykresu to $x = 3$ . Wyznacz drugie miejsce zerowe.

$x_2 = 2\cdot 3 - (-5) = 11$ .

Odpowiedź: $11$

Przykład 3

Równe wartości

Dla $f(x) = (x + 2)^2 - 1$ liczba $t \neq -9$ spełnia $f(t) = f(-9)$ . Wyznacz $t$ .

$p = -2$ , więc $t = 2\cdot(-2) - (-9) = 5$ .
Sprawdzenie: $f(5) = 49 - 1 = 48$ , $f(-9) = 49 - 1 = 48$ .

Odpowiedź: $t = 5$

Przykład 4

Trójkąt z wierzchołkiem

Parabola $f(x) = -x^2 + 2x + 8$ przecina oś $Ox$ w punktach $A$ i $B$ , a jej wierzchołek to $C$ . Oblicz pole trójkąta $ABC$ .

$-x^2 + 2x + 8 = -(x - 4)(x + 2)$ , więc $A = (-2, 0)$ , $B = (4, 0)$ , $|AB| = 6$ .
$p = 1$ , $q = f(1) = 9$ – wysokość trójkąta to $9$ .
$P = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9 = 27$ .

Odpowiedź: $27$

Typowe błędy

Odczyt miejsc zerowych z $(x - 1)(x + 3)$ jako $-1$ i $3$ .
Liczenie $x_2 = p - x_1$ zamiast $2p - x_1$ .
Zgubienie współczynnika $a$ przy wymnażaniu postaci iloczynowej.