Wierzchołek, oś symetrii i postać kanoniczna

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Wierzchołek paraboli ma współrzędne”, „Osią symetrii wykresu jest prosta”, „Na którym rysunku jest wykres $f(x) = ax^2 + bx + 1$ , gdzie $a < 0$ i $b > 0$ ?”.

Wierzchołek i postać kanonicznana karcie wzorów

p = \frac{-b}{2a},\quad q = f(p) = \frac{-\Delta}{4a},\qquad f(x) = a(x - p)^2 + q

Oś symetrii: prosta $x = p$ .
Z postaci $a(x - p)^2 + q$ odczytujesz $W = (p, q)$ – uwaga na znak $p$ : $(x + 1)^2$ to $p = -1$ .
Z postaci iloczynowej: $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Odczytaj a, b, c
Albo p, q z postaci kanonicznej.
2
Oblicz p
$p = \frac{-b}{2a}$ .
3
Oblicz q = f(p)
Podstaw p do wzoru – łatwiej niż przez deltę.
4
Zapisz postać kanoniczną
$a(x - p)^2 + q$ .

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wierzchołek i postać kanoniczna

Wyznacz wierzchołek paraboli $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ i zapisz $f$ w postaci kanonicznej.

$p = \frac{8}{4} = 2$ .
$q = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3$ .

Odpowiedź: $W = (2, -3)$ , $f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$

Przykład 2

Odczyt z postaci kanonicznej

Podaj wierzchołek i oś symetrii paraboli $f(x) = -(x + 1)^2 + 4$ .

$(x + 1)^2 = (x - (-1))^2$ , więc $p = -1$ , $q = 4$ .

Odpowiedź: $W = (-1, 4)$ , oś: $x = -1$

Przykład 3

Znaki współczynników

Parabola $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma ramiona skierowane w dół, wierzchołek w punkcie o dodatniej pierwszej współrzędnej i przecina oś $Oy$ poniżej zera. Ustal znaki $a$ , $b$ , $c$ .

Ramiona w dół: $a < 0$ . Przecięcie z $Oy$ to $(0, c)$ : $c < 0$ .
$p = \frac{-b}{2a} > 0$ i $2a < 0$ , więc $-b < 0$ , czyli $b > 0$ .

Odpowiedź: $a < 0$ , $b > 0$ , $c < 0$

Typowe błędy

Odczyt $p = 1$ z $(x + 1)^2$ – w nawiasie jest $x - p$ .
$p = \frac{b}{2a}$ – brak minusa.
Mylenie osi symetrii $x = p$ z prostą $y = q$ .