Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.” – dane to wierzchołek, miejsca zerowe, oś symetrii, punkty wykresu. Zadanie otwarte za 2–3 pkt albo zamknięte.

Którą postać wybrać

Dane	Postać startowa	Co dalej
wierzchołek (p, q) + punkt	$a(x - p)^2 + q$	podstaw punkt → $a$
miejsca zerowe $x_1, x_2$ + punkt	$a(x - x_1)(x - x_2)$	podstaw punkt → $a$
oś symetrii + miejsce zerowe + punkt	drugie miejsce zerowe z symetrii	jak wyżej
tylko jeden punkt wspólny z $Ox$	ten punkt to wierzchołek: $a(x - p)^2$	punkt na $Oy$ → $a$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wybierz postać startową
Według danych (tabela powyżej).
2
Podstaw znany punkt
Wyznacz a z równania.
3
Zapisz wzór
I przekształć do żądanej postaci.
4
Sprawdź
Podstaw dane punkty.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wierzchołek i punkt

Wierzchołek paraboli to $W = (2, -3)$ , a wykres przechodzi przez $(0, 5)$ . Wyznacz wzór w postaci kanonicznej.

$f(x) = a(x - 2)^2 - 3$ .
$f(0) = 4a - 3 = 5 \Rightarrow a = 2$ .

Odpowiedź: $f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$

Przykład 2

Miejsca zerowe i punkt

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są $-1$ i $5$ , a wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -10)$ . Wyznacz wzór $f$ .

$f(x) = a(x + 1)(x - 5)$ .
$f(0) = a\cdot 1\cdot(-5) = -5a = -10 \Rightarrow a = 2$ .

Odpowiedź: $f(x) = 2(x + 1)(x - 5) = 2x^2 - 8x - 10$

Przykład 3

Oś symetrii, miejsce zerowe i punkt

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest $x = 2$ , jednym z miejsc zerowych jest $-1$ , a wykres przechodzi przez $(3, -8)$ . Wyznacz wzór w postaci kanonicznej.

Drugie miejsce zerowe: $2\cdot 2 - (-1) = 5$ . $f(x) = a(x + 1)(x - 5)$ .
$f(3) = a\cdot 4\cdot(-2) = -8a = -8 \Rightarrow a = 1$ .
$f(x) = x^2 - 4x - 5$ , $q = f(2) = -9$ .

Odpowiedź: $f(x) = (x - 2)^2 - 9$

Przykład 4

Jeden punkt wspólny z osią Ox

Wykres funkcji kwadratowej ma z osiami układu dokładnie dwa punkty wspólne: $(0, 12)$ i $(2, 0)$ . Wyznacz wzór funkcji.

Z osią $Ox$ jest tylko jeden punkt wspólny, więc parabola jest do niej styczna – $(2, 0)$ to wierzchołek.
$f(x) = a(x - 2)^2$ , $f(0) = 4a = 12 \Rightarrow a = 3$ .

Odpowiedź: $f(x) = 3(x - 2)^2$

Typowe błędy

Pominięcie współczynnika $a$ (przyjęcie $a = 1$ bez sprawdzenia).
Znaki w nawiasach: miejsce zerowe $-1$ daje $(x + 1)$ .
Odpowiedź w innej postaci niż wymagana.