Własności funkcji liniowej i parametr

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Funkcja $f(x) = (-2k + 3)x + k - 1$ jest malejąca dla…”, „Funkcja $f(x) = (3 - m)x - 4$ nie ma miejsca zerowego dla $m$ równego”, „Oceń prawdziwość: $f$ jest rosnąca; wykres przecina $Oy$ w $(0, 4)$ ”.

Własność	Warunek dla y = ax + b
rosnąca / malejąca / stała	$a > 0$ / $a < 0$ / $a = 0$
przecięcie z $Oy$	$(0, b)$
miejsce zerowe	$x_0 = -\frac{b}{a}$ (dla $a \neq 0$ )
brak miejsca zerowego	$a = 0$ i $b \neq 0$
wykresy równoległe (brak punktów wspólnych)	te same $a$ , różne $b$

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Odczytaj a i b (z parametrem)
W $f(x) = (-2k + 3)x + k - 1$ : $a = -2k + 3$ , $b = k - 1$ .
2
Zapisz warunek
Malejąca: $a < 0$ ; przechodzi przez $(0, c)$ : $b = c$ .
3
Rozwiąż nierówność lub równanie
Pamiętaj o zmianie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Własności ze wzoru

Dla $f(x) = -\frac{1}{2}x + 3$ podaj monotoniczność, miejsce zerowe, punkt przecięcia z $Oy$ i pole trójkąta ograniczonego wykresem i osiami.

$a = -\frac{1}{2} < 0$ – malejąca.
$-\frac{1}{2}x + 3 = 0 \Rightarrow x = 6$ . Przecięcie z $Oy$ : $(0, 3)$ .
Pole: $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3 = 9$ .

Odpowiedź: malejąca, $x_0 = 6$ , $(0, 3)$ , pole $9$

Przykład 2

Parametr – monotoniczność

Dla jakich $m$ funkcja $f(x) = (2m - 4)x + 3$ jest malejąca?

$2m - 4 < 0 \Rightarrow m < 2$ .

Odpowiedź: $m \in (-\infty, 2)$

Przykład 3

Parametr – punkt na osi Oy

Wykres funkcji $f(x) = 4x + m^2 - 2m$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$ . Wyznacz $m$ .

$b = f(0) = m^2 - 2m = 3$ .
$m^2 - 2m - 3 = 0 \Rightarrow (m - 3)(m + 1) = 0$ .

Odpowiedź: $m = 3$ lub $m = -1$

Przykład 4

Parametr – brak miejsca zerowego

Dla jakiego $m$ funkcja $f(x) = (m - 1)x + 5$ nie ma miejsca zerowego?

Potrzeba $a = 0$ i $b \neq 0$ : $m - 1 = 0$ , a $b = 5 \neq 0$ .

Odpowiedź: $m = 1$

Typowe błędy

Brak zmiany znaku: $-2k + 3 < 0 \Rightarrow k < \frac{3}{2}$ – źle, poprawnie $k > \frac{3}{2}$ .
Mylenie $b$ z miejscem zerowym.