Optymalizacja – przychód, zysk, cena

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Przychód $P(x) = (70 - x)(20 + x)$ …”, „Koszt $K(x) = x^2 + 21x + 170$ , przychód $P(x) = 251x$ . Oblicz, ile wiatraków należy produkować, aby zysk był największy”, „Hotel ma 80 pokoi…”.

Przychód = cena × liczba sprzedanych sztuk.
Zysk = przychód − koszt: $Z(x) = P(x) - K(x)$ .
Obniżka ceny o $x$ zł zwiększa sprzedaż o $k\cdot x$ : $P(x) = (c - x)(n + kx)$ .
Gdy $x$ musi być całkowite, a $p$ wychodzi ułamkiem – porównaj wartości w dwóch najbliższych liczbach całkowitych.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz funkcję
Przychód lub zysk jako funkcja x.
2
Doprowadź do postaci ogólnej
Wymnóż nawiasy, odczytaj a i b.
3
Wierzchołek i dziedzina
p = −b/(2a); czy należy do dziedziny (np. x ≤ 150)?
4
Odpowiedz na pytanie
Cena? Liczba sztuk? Wartość zysku?

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Obniżka ceny

Bilet kosztuje $40$ zł i sprzedaje się $300$ biletów. Każda obniżka ceny o $1$ zł zwiększa sprzedaż o $15$ biletów. Przy jakiej cenie przychód będzie największy?

$x$ – obniżka w zł: $P(x) = (40 - x)(300 + 15x)$ .
$P(x) = 12\,000 + 600x - 300x - 15x^2 = -15x^2 + 300x + 12\,000$ .
$p = \frac{-300}{-30} = 10$ . Cena: $30$ zł, sprzedaż $450$ , przychód $13\,500$ zł.

Odpowiedź: $30$ zł (przychód $13\,500$ zł)

Przykład 2

Zysk = przychód − koszt

Przychód ze sprzedaży $x$ sztuk: $P(x) = 120x$ , koszt: $K(x) = x^2 + 20x + 500$ , przy czym $x \le 80$ . Ile sztuk należy sprzedać, by zysk był największy, i ile wynosi ten zysk?

$Z(x) = 120x - x^2 - 20x - 500 = -x^2 + 100x - 500$ .
$p = 50 \le 80$ – należy do dziedziny.
$Z(50) = -2500 + 5000 - 500 = 2000$ .

Odpowiedź: $50$ sztuk, zysk $2000$ zł

Przykład 3

x całkowite

Przychód $P(x) = (50 - x)(25 + x)$ , gdzie $x$ jest całkowite. Dla jakiego $x$ przychód jest największy?

Miejsca zerowe: $50$ i $-25$ , więc $p = \frac{50 + (-25)}{2} = 12{,}5$ .
$P(12) = 38\cdot 37 = 1406$ , $P(13) = 37\cdot 38 = 1406$ – równe.

Odpowiedź: dla $x = 12$ lub $x = 13$ (przychód $1406$ )

Typowe błędy

Odjęcie tylko pierwszego wyrazu kosztu (brak nawiasu).
Odpowiedź „ $x = 10$ ”, gdy pytają o cenę ( $40 - 10 = 30$ zł).
Zaokrąglenie p bez sprawdzenia sąsiednich liczb całkowitych.