Funkcje · typ zadania · temat 6 z 6

Optymalizacja – najmniejsza wartość wyrażenia

Najmniejsza wartość wyrażenia z dwiema zmiennymi powiązanymi warunkiem (np. $x + y = 12$ ) – sprowadzenie do funkcji kwadratowej.

6 min czytania

Teoria do tego typu zadań: Zadania optymalizacyjne

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Suma dwóch nieujemnych liczb $x$ i $y$ jest równa $12$ . Wyznacz $x$ i $y$ , dla których wartość wyrażenia $2x^2 + y^2$ jest najmniejsza.”

Z warunku wyznacz jedną zmienną: $y = 12 - x$ .
Podstaw do wyrażenia – dostajesz funkcję kwadratową jednej zmiennej.
Dziedzina z warunków („nieujemne”: $x \ge 0$ i $y \ge 0$ ).

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyznacz zmienną z warunku
$y = 12 - x$ .
2
Zbuduj funkcję
$f(x) = 2x^2 + (12 - x)^2$ .
3
Dziedzina
$x \in [0, 12]$ .
4
Wierzchołek i odpowiedź
x, y i wartość wyrażenia.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Suma kwadratów

Suma liczb $x$ i $y$ jest równa $10$ . Dla jakich $x$ , $y$ wyrażenie $x^2 + y^2$ ma najmniejszą wartość?

$y = 10 - x$ : $f(x) = x^2 + (10 - x)^2 = 2x^2 - 20x + 100$ .
$p = 5$ , $f(5) = 50$ .

Odpowiedź: $x = y = 5$ , wartość $50$

Przykład 2

Największy iloczyn z warunkiem

Liczby nieujemne $x$ i $y$ spełniają $x + 2y = 8$ . Wyznacz największą wartość iloczynu $xy$ .

$x = 8 - 2y$ , $f(y) = (8 - 2y)y = -2y^2 + 8y$ , $y \in [0, 4]$ .
$p = 2$ , $x = 4$ , $f(2) = 8$ .

Odpowiedź: $8$ (dla $x = 4$ , $y = 2$ )

Typowe błędy

Błąd w rozwinięciu $(12 - x)^2$ .
Pominięcie dziedziny z warunku „nieujemne”.

Na maturze

Koniec lekcji

Oznacz ją jako przeczytaną, żeby odblokować zadania.