Optymalizacja w geometrii – pole i objętość

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Rozważamy wszystkie prostopadłościany, w których… Niech $P(x)$ oznacza pole powierzchni… Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$ . Oblicz $x$ , dla którego pole jest największe.” – zadanie otwarte za 3–4 pkt, ostatnie w arkuszu.

Masz warunek (np. długość siatki, suma krawędzi) – z niego wyrażasz drugą wielkość przez $x$ .
Badana wielkość (pole, objętość) staje się funkcją kwadratową $P(x)$ .
Dziedzina: wszystkie długości muszą być dodatnie.
Ekstremum funkcji kwadratowej jest w wierzchołku $p = \frac{-b}{2a}$ – o ile $p$ należy do dziedziny.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Oznacz zmienną x
Zgodnie z treścią (często narzucona).
2
Z warunku wyraź drugą wielkość przez x
Np. $2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x$ .
3
Zapisz funkcję i dziedzinę
$P(x) = x(60 - 2x)$ , $x \in (0, 30)$ .
4
Wyznacz wierzchołek
Sprawdź, czy p należy do dziedziny.
5
Odpowiedz
Wymiary i/lub wartość największa – o co pytają.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wybieg przy murze

Prostokątny wybieg przylega jednym bokiem do muru, a pozostałe trzy boki ogrodzono siatką o długości $60$ m. Oblicz wymiary wybiegu o największym polu.

$x$ – bok prostopadły do muru (dwa takie), $y$ – bok równoległy: $2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x$ .
$P(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x$ , dziedzina: $x > 0$ i $y > 0$ , czyli $x \in (0, 30)$ .
$p = \frac{-60}{-4} = 15 \in (0, 30)$ , $a < 0$ – w wierzchołku jest maksimum.
$y = 60 - 30 = 30$ , $P(15) = 450$ .

Odpowiedź: $15$ m × $30$ m (pole $450$ m²)

Przykład 2

Prostopadłościan

Rozważamy prostopadłościany o podstawie kwadratowej, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa $48$ . Wyznacz wymiary tego, który ma największe pole powierzchni bocznej.

$a$ – krawędź podstawy, $h$ – wysokość: $8a + 4h = 48 \Rightarrow h = 12 - 2a$ .
$P_b(a) = 4ah = 4a(12 - 2a) = -8a^2 + 48a$ , $a \in (0, 6)$ .
$p = \frac{-48}{-16} = 3$ , $h = 6$ , $P_b = 4\cdot 3\cdot 6 = 72$ .

Odpowiedź: podstawa $3 \times 3$ , wysokość $6$ (pole boczne $72$ )

Typowe błędy

Brak dziedziny albo dziedzina domknięta, gdy długość może być zerem.
Odpowiedź tylko x, gdy pytają o wymiary (obie długości) lub o pole.
Funkcja z dwiema zmiennymi – trzeba wyeliminować jedną z warunku.