Równania i nierówności odczytywane z wykresu

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Zapisz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja $f$ przyjmuje wartości większe od $1$ ”, „Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x) \le 2$ jest…”, „Równanie $f(x) = \sqrt{5}$ ma … rozwiązania”.

Metoda prostej poziomej

Narysuj prostą $y = k$ .
$f(x) = k$ – punkty przecięcia wykresu z prostą; ich $x$ -y to rozwiązania.
$f(x) > k$ – części wykresu nad prostą; $f(x) < k$ – pod prostą.
Odpowiedź to zawsze zbiór $x$ -ów.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Narysuj prostą y = k
Na wykresie z zadania.
2
Zaznacz punkty przecięcia
Gdy nie są w kratkach – policz z równania odcinka.
3
Wybierz części nad lub pod prostą
Zgodnie ze znakiem nierówności.
4
Zapisz x-y jako przedziały
Uważaj na końce: punkty na prostej należą przy ≤, ≥.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wartości nieujemne

Dla funkcji z rysunku wyznacz zbiór argumentów, dla których $f(x) \ge 0$ .

Miejsca zerowe: $-4$ , $-1$ , $3$ .
Nad osią (lub na niej): od $-5$ do $-4$ oraz od $-1$ do $3$ .

Odpowiedź: $[-5, -4] \cup [-1, 3]$

Przykład 2

Liczba rozwiązań równania

Ile rozwiązań ma równanie $f(x) = 1$ dla funkcji z rysunku?

Prosta $y = 1$ przecina odcinek $AB$ ( $x = -4{,}5$ ), $BC$ ( $x = 0$ ) i $CD$ ( $x = 2$ ).

Odpowiedź: trzy

Przykład 3

Nierówność ostra

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $f(x) < -1$ dla funkcji z rysunku.

Na odcinku $AB$ : $-2x - 8 < -1 \Rightarrow x > -3{,}5$ .
Na odcinku $BC$ : $x + 1 < -1 \Rightarrow x < -2$ .
Na $CD$ : $-x + 3 < -1 \Rightarrow x > 4$ – poza dziedziną.

Odpowiedź: $(-3{,}5;\ -2)$

Typowe błędy

Zapisanie przedziału wartości (y) zamiast argumentów (x).
Pominięcie kawałka wykresu, który też spełnia warunek.
Zły nawias przy pustej kropce na końcu dziedziny.