Funkcja określona tabelą lub kilkoma wzorami

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Funkcja $y = f(x)$ jest określona za pomocą tabeli…”, „Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \begin{cases} \ldots & x \in \ldots \\ \ldots & x \in \ldots \end{cases}$ Uzupełnij zdania…”.

Funkcja z tabeli

Dziedzina to zbiór liczb z pierwszego wiersza (nie przedział!).
Zbiór wartości – zbiór liczb z drugiego wiersza (bez powtórzeń).
Miejsca zerowe – $x$ -y, pod którymi stoi $0$ .
Symetria względem $Oy$ : $f(-x) = f(x)$ dla każdego $x$ z tabeli.

Funkcja „klamrowa”

Dla danego $x$ najpierw sprawdzasz, do którego przedziału należy – i dopiero wtedy liczysz z odpowiedniego wzoru.
Dziedzina to suma wszystkich przedziałów.
Zbiór wartości: wartości każdego kawałka osobno, potem suma.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Przy x ustal przedział
Uważaj na końce: (−2, 2] zawiera 2, ale nie −2.
2
Licz z właściwego wzoru
Każdy kawałek jest funkcją liniową lub stałą.
3
Złóż wynik
Dziedzina i zbiór wartości – suma kawałków.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Funkcja przedziałami

Funkcja $f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{dla } x \in [-4, -1) \\ 3 & \text{dla } x \in [-1, 2] \\ -x + 5 & \text{dla } x \in (2, 6] \end{cases}$ . Wyznacz dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe.

Dziedzina: $[-4, -1) \cup [-1, 2] \cup (2, 6] = [-4, 6]$ .
Wartości: $x + 4$ na $[-4, -1)$ daje $[0, 3)$ ; stała $3$ ; $-x + 5$ na $(2, 6]$ daje $[-1, 3)$ . Razem $[-1, 3]$ .
Miejsca zerowe: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$ (należy do przedziału); $-x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ (należy).

Odpowiedź: $D = [-4, 6]$ , $ZW = [-1, 3]$ , miejsca zerowe: $-4$ i $5$

Przykład 2

Wartość w punkcie

Dla funkcji z poprzedniego przykładu oblicz $f(-1) + 2f(4)$ .

$-1 \in [-1, 2]$ , więc $f(-1) = 3$ .
$4 \in (2, 6]$ , więc $f(4) = -4 + 5 = 1$ .
$3 + 2\cdot 1 = 5$ .

Odpowiedź: $5$

Przykład 3

Funkcja z tabeli

Funkcja jest dana tabelą: $\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \end{array}$ Oceń: (1) $f$ ma dwa miejsca zerowe; (2) wykres jest symetryczny względem osi $Oy$ .

Zera w drugim wierszu stoją pod $-1$ i $1$ – dwa miejsca zerowe. Prawda.
$f(-2) = f(2) = 3$ , $f(-1) = f(1) = 0$ – wartości symetryczne. Prawda.

Odpowiedź: P, P

Typowe błędy

Liczenie $f(-1)$ z pierwszego wzoru, bo „ $-1$ jest końcem” – trzeba sprawdzić, do którego przedziału należy.
Zapis dziedziny funkcji z tabeli jako przedziału.
Przyjęcie miejsca zerowego, które leży poza przedziałem danego wzoru.