Funkcja wykładnicza w zadaniach praktycznych

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

W treści jest wzór typu $T(x) = 78\cdot 2^{-0{,}05x} + 22$ albo opis „co $4$ godziny masa leku maleje o połowę”. Pytania: wartość po czasie, czas do osiągnięcia wartości, wykres.

„Co $T$ jednostek czasu ilość maleje o połowę”: $m(t) = m_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$ .
„Co $T$ podwaja się”: $N(t) = N_0\cdot 2^{\frac{t}{T}}$ .
„Co roku maleje o $10\%$ ”: $P(n) = P_0\cdot 0{,}9^n$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz wzór
Z treści albo podany.
2
Podstaw dane
Czas → oblicz wartość; wartość → równanie na czas.
3
Sprowadź do wspólnej podstawy
I porównaj wykładniki.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Lek

Masa leku w organizmie maleje o połowę co $4$ godziny. Pacjent przyjął $200$ mg. Ile leku zostanie po $12$ godzinach?

$m(t) = 200\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}}$ .
$m(12) = 200\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 25$ .

Odpowiedź: $25$ mg

Przykład 2

Bakterie

Liczba bakterii $N(t) = 500\cdot 2^{\frac{t}{3}}$ ( $t$ w godzinach). Po ilu godzinach będzie ich $4000$ ?

$500\cdot 2^{\frac{t}{3}} = 4000 \Rightarrow 2^{\frac{t}{3}} = 8 = 2^3$ .
$\frac{t}{3} = 3 \Rightarrow t = 9$ .

Odpowiedź: po $9$ godzinach

Przykład 3

Stygnięcie

Temperatura naparu $T(x) = 60\cdot 2^{-0{,}1x} + 20$ (°C, $x$ w minutach). Oblicz temperaturę po $20$ minutach.

$2^{-0{,}1\cdot 20} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$ .
$T(20) = 60\cdot\frac{1}{4} + 20 = 35$ .

Odpowiedź: $35$ °C

Typowe błędy

Mnożenie przez wykładnik zamiast potęgowania: $200\cdot\frac{1}{2}\cdot 3$ .
Pominięcie stałej dodanej we wzorze (temperatura otoczenia).