Proporcjonalność odwrotna – wzór i zastosowania

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne. Dla $x = 18$ jest $y = 9$ …”, „ $6$ robotników wykona pracę w $15$ dni. Ilu dni potrzebuje $9$ robotników?”.

Proporcjonalność odwrotna

y = \frac{a}{x} \iff x\cdot y = a \quad (a \neq 0)

Gdy $x$ rośnie $k$ razy, $y$ maleje $k$ razy.
Wykres to hiperbola; dla $a > 0$ – w I i III ćwiartce, malejąca w $(-\infty, 0)$ i w $(0, +\infty)$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Oblicz stałą a = x·y
Z danej pary wartości.
2
Wyznacz szukaną
$y = \frac{a}{x}$ .
3
Sprawdź sens
Więcej robotników – mniej dni.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Robotnicy

$6$ robotników wykona pracę w $15$ dni. Ile dni zajmie ta praca $9$ robotnikom (pracującym w tym samym tempie)?

$a = 6\cdot 15 = 90$ „robotniko-dni”.
$\frac{90}{9} = 10$ .

Odpowiedź: $10$ dni

Przykład 2

Wzór z punktu

Wykres funkcji $f(x) = \frac{a}{x}$ przechodzi przez $(2, -6)$ . Oblicz $f(3)$ .

$a = 2\cdot(-6) = -12$ .
$f(3) = \frac{-12}{3} = -4$ .

Odpowiedź: $-4$

Typowe błędy

Rozwiązanie proporcją wprost (więcej robotników → więcej dni).
Liczenie $a$ jako ilorazu $\frac{y}{x}$ .