Przejdź do treści
Maturka

Funkcje · typ zadania · temat 5 z 6

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna – wykres i własności

Wykres i własności funkcji y=axy = a^x (oraz przesuniętej) i funkcji logarytmicznej y=log⁡axy = \log_a x – monotoniczność, zbiór wartości, parametr z punktu.

7 min czytania

Teoria do tego typu zadań: Funkcja wykładnicza i proporcjonalność odwrotna

Spis treści
  1. 1.Co musisz wiedzieć
  2. 2.Schemat krok po kroku
  3. 3.Rozwiązane przykłady
  4. 4.Typowe błędy
  5. 5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Wykres funkcji f(x)=axf(x) = a^x przechodzi przez (2,9)(2, 9). Liczba aa jest równa”, „Funkcja f(x)=log⁡6xf(x) = \log_6 x. Oceń: f(36)=6f(36) = 6; ff jest rosnąca”.

f(x)=axf(x) = a^xf(x)=log⁡axf(x) = \log_a x
dziedzinaR\mathbb{R}(0,+∞)(0, +\infty)
zbiór wartości(0,+∞)(0, +\infty)R\mathbb{R}
stały punkt(0,1)(0, 1)(1,0)(1, 0)
rosnącaa>1a > 1a>1a > 1
malejąca0<a<10 < a < 10<a<10 < a < 1

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

  1. 1

    Ustal podstawę

    Większa od 1 – rosnąca, mniejsza – malejąca.

  2. 2

    Parametr z punktu

    Podstaw współrzędne do wzoru i rozwiąż.

  3. 3

    Wartości licz z definicji potęgi lub logarytmu

    log⁡636=2\log_6 36 = 2, bo 62=366^2 = 36.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Wartości i monotoniczność

Dla f(x)=(12)xf(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x oblicz f(−2)f(-2) i określ monotoniczność.

  1. (12)−2=22=4\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4.

  2. Podstawa 12<1\frac{1}{2} < 1 – funkcja malejąca.

Odpowiedź: f(−2)=4f(-2) = 4, malejąca

Przykład 2

Parametr przesunięcia

Wykres funkcji f(x)=3x+bf(x) = 3^x + b przechodzi przez punkt (1,5)(1, 5). Wyznacz bb i zbiór wartości ff.

  1. 3+b=5⇒b=23 + b = 5 \Rightarrow b = 2.

  2. 3x>03^x > 0, więc 3x+2>23^x + 2 > 2.

Odpowiedź: b=2b = 2, ZW=(2,+∞)ZW = (2, +\infty)

Przykład 3

Funkcja logarytmiczna

Dla f(x)=log⁡2xf(x) = \log_2 x oblicz f(8)f(8) i f(12)f\left(\frac{1}{2}\right).

  1. log⁡28=3\log_2 8 = 3, log⁡212=−1\log_2\frac{1}{2} = -1.

Odpowiedź: 33 i −1-1

Typowe błędy

  • log⁡636=6\log_6 36 = 6 – logarytm to wykładnik, tu 22.
  • Uznanie, że axa^x może przyjąć wartość 00 lub ujemną.

Na maturze

Koniec lekcji

Oznacz ją jako przeczytaną, żeby odblokować zadania.