Trzy wyrazy ciągu geometrycznego – parametr

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Ciąg $(1 - 2a,\ 12,\ 48)$ jest geometryczny. Liczba $a$ jest równa”, „Ciąg $(x, x + 4, 2x + 8)$ o dodatnich wyrazach jest geometryczny. Iloraz jest równy”.

Warunek na trzy kolejne wyrazy

(a, b, c) \text{ – geometryczny} \iff b^2 = a\cdot c

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz b² = ac
Kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych.
2
Rozwiąż
Często równanie kwadratowe.
3
Sprawdź warunki
Wyrazy dodatnie? Niezerowe? Policz ciąg dla każdego rozwiązania.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Parametr liniowo

Ciąg $(x,\ 6,\ 18)$ jest geometryczny. Wyznacz $x$ .

$36 = 18x \Rightarrow x = 2$ .

Odpowiedź: $x = 2$

Przykład 2

Równanie kwadratowe

Ciąg $(x - 1,\ x + 1,\ 2x + 5)$ jest geometryczny. Wyznacz $x$ i iloraz.

$(x + 1)^2 = (x - 1)(2x + 5) \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + 3x - 5$ .
$x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ lub $x = -3$ .
$x = 2$ : $(1, 3, 9)$ , $q = 3$ . $x = -3$ : $(-4, -2, -1)$ , $q = \frac{1}{2}$ .

Odpowiedź: $x = 2$ ( $q = 3$ ) lub $x = -3$ ( $q = \frac{1}{2}$ )

Przykład 3

Iloczyn pięciu wyrazów

Ciąg $(a_1, a_2, 3, a_4, a_5)$ jest geometryczny. Oblicz iloczyn wszystkich wyrazów.

$a_1a_5 = a_2a_4 = 3^2 = 9$ .
Iloczyn: $9\cdot 9\cdot 3 = 243 = 3^5$ .

Odpowiedź: $243$

Typowe błędy

Warunek $2b = a + c$ (arytmetyczny) zamiast $b^2 = ac$ .
Pominięcie warunku „wyrazy dodatnie” przy wyborze rozwiązania.