Ciąg geometryczny z dwóch danych wyrazów

Spis treści

Co musisz wiedzieć

„ $a_2 = 2$ , $a_5 = 54$ . Iloraz jest równy”, „ $a_3 = -8a_6$ . Iloraz jest równy”, „Wybierz dwie poprawne postacie wzoru ogólnego”.

Wyraz ogólny ciągu geometrycznegona karcie wzorów

a_n = a_1\cdot q^{n-1}, \qquad \frac{a_k}{a_m} = q^{k - m}

Dzielisz wyrazy – zostaje potęga ilorazu.
$q^3 = -\frac{1}{8} \Rightarrow q = -\frac{1}{2}$ (nieparzysta potęga – jedno rozwiązanie); $q^2 = \frac{1}{25} \Rightarrow q = \pm\frac{1}{5}$ (parzysta – dwa).
Iloczyny: $a_3\cdot a_6 = a_2\cdot a_7 = a_1^2q^7$ – sumy indeksów równe, iloczyny równe.

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Podziel wyrazy
$\frac{a_5}{a_2} = q^3$ .
2
Wyznacz q
Pierwiastek odpowiedniego stopnia; przy parzystej potędze dwa znaki.
3
Licz szukany wyraz
Od znanego wyrazu mnożąc przez q.

Przykład 1

Dwa wyrazy

W ciągu geometrycznym $a_2 = 6$ , $a_5 = 162$ . Wyznacz $q$ i $a_1$ .

Odpowiedź: $q = 3$ , $a_1 = 2$

Przykład 2

Zależność między wyrazami

Ciąg geometryczny o wyrazach różnych od zera spełnia $a_3 = -8a_6$ . Wyznacz iloraz.

Odpowiedź: $q = -\frac{1}{2}$

Przykład 3

Parzysta potęga i monotoniczność

Ciąg geometryczny o dodatnich wyrazach spełnia $a_6 = 25a_8$ i jest malejący. Wyznacz $q$ .

Odpowiedź: $q = \frac{1}{5}$

Przykład 4

Wzór ogólny

Ciąg geometryczny: $2, -6, 18, \ldots$ Zapisz wzór ogólny.

Odpowiedź: $a_n = 2\cdot(-3)^{n-1}$