Suma ciągu geometrycznego i zastosowania

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„ $a_1 = 3{,}75$ , $a_2 = -7{,}5$ . Suma trzech początkowych wyrazów jest równa”, „Oblicz masę leku przed jedenastą dawką”.

Suma ciągu geometrycznegona karcie wzorów

S_n = a_1\cdot\frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1), \qquad S_n = n\cdot a_1 \quad (q = 1)

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wyznacz a₁ i q
Z danych lub z treści.
2
Podstaw do wzoru
Uważaj na ujemne $q$ : $(-2)^5 = -32$ .
3
Zinterpretuj wynik
W zadaniach z kontekstem – jednostki i zaokrąglenia.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Suma sześciu wyrazów

Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $a_1 = 3$ , $q = 2$ .

$S_6 = 3\cdot\frac{1 - 64}{1 - 2} = 3\cdot 63 = 189$ .

Odpowiedź: $189$

Przykład 2

Ujemny iloraz

$a_1 = 4$ , $a_2 = -2$ . Oblicz $S_3$ .

$q = -\frac{1}{2}$ , $a_3 = 1$ .
$S_3 = 4 - 2 + 1 = 3$ .

Odpowiedź: $3$

Przykład 3

Kontekst

W pierwszej godzinie wyhodowano $100$ bakterii, a w każdej kolejnej godzinie przybywało $3$ razy więcej niż w poprzedniej. Ile bakterii przybyło łącznie w ciągu $5$ godzin?

$a_1 = 100$ , $q = 3$ : $S_5 = 100\cdot\frac{1 - 243}{1 - 3} = 100\cdot 121 = 12\,100$ .

Odpowiedź: $12\,100$

Typowe błędy

$q^{n-1}$ zamiast $q^n$ we wzorze na sumę.
Znak przy ujemnym $q$ w potędze.