Trzy wyrazy ciągu arytmetycznego – parametr

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Trzywyrazowy ciąg $(5m,\ 4 + 2m,\ m)$ jest arytmetyczny, gdy $m$ jest równe”, „Wyznacz $m$ , dla którego ciąg $(2m + 11, m^2 + 3, 5 - m)$ jest arytmetyczny i malejący”.

Warunek na trzy kolejne wyrazy

(a, b, c) \text{ – arytmetyczny} \iff 2b = a + c

Środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zapisz warunek 2b = a + c
Środkowy razy 2 = suma skrajnych.
2
Rozwiąż równanie
Liniowe lub kwadratowe.
3
Sprawdź dodatkowe warunki
Rosnący: r > 0; malejący: r < 0. Policz wyrazy dla każdego m.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Równanie liniowe

Ciąg $(2m - 1,\ 5,\ m + 4)$ jest arytmetyczny. Wyznacz $m$ .

$2\cdot 5 = (2m - 1) + (m + 4) \Rightarrow 10 = 3m + 3$ .
$m = \frac{7}{3}$ .

Odpowiedź: $m = \frac{7}{3}$

Przykład 2

Kwadratowe z warunkiem monotoniczności

Wyznacz $m$ , dla którego ciąg $(4m,\ m^2 + 1,\ 2)$ jest arytmetyczny i malejący.

$2(m^2 + 1) = 4m + 2 \Rightarrow 2m^2 - 4m = 0 \Rightarrow 2m(m - 2) = 0$ .
$m = 0$ : ciąg $(0, 1, 2)$ – rosnący. $m = 2$ : ciąg $(8, 5, 2)$ – malejący.

Odpowiedź: $m = 2$

Typowe błędy

Warunek $b = a + c$ (bez dwójki) albo $2a = b + c$ .
Pominięcie sprawdzenia monotoniczności dla obu rozwiązań.