Ciągi · typ zadania · temat 2 z 3

Ciąg arytmetyczny z dwóch danych wyrazów

Masz dwa wyrazy ciągu arytmetycznego (albo wyraz i różnicę) – wyznacz różnicę, pierwszy wyraz i dowolny inny wyraz.

6 min czytania

Teoria do tego typu zadań: Ciąg arytmetyczny

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„W ciągu arytmetycznym $a_2 = 4$ , $a_3 = 9$ . Szósty wyraz jest równy”, „Pięciowyrazowy ciąg $(-3, \tfrac{1}{2}, x, y, 11)$ jest arytmetyczny”.

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznegona karcie wzorów

a_n = a_1 + (n - 1)r, \qquad a_k - a_m = (k - m)\cdot r

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Policz kroki między wyrazami
Od $a_3$ do $a_7$ : $7 - 3 = 4$ kroki.
2
Wyznacz r
$r = \frac{a_7 - a_3}{4}$ .
3
Licz szukany wyraz
Od najbliższego znanego wyrazu.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Dwa wyrazy

W ciągu arytmetycznym $a_3 = 7$ i $a_7 = 19$ . Oblicz $a_1$ i $a_{10}$ .

$4r = 19 - 7 = 12 \Rightarrow r = 3$ .
$a_1 = a_3 - 2r = 1$ , $a_{10} = a_7 + 3r = 28$ .

Odpowiedź: $a_1 = 1$ , $a_{10} = 28$

Przykład 2

Wyrazy w środku

Ciąg $(-3, x, y, z, 13)$ jest arytmetyczny. Wyznacz $x$ , $y$ , $z$ .

Od pierwszego do piątego są $4$ kroki: $4r = 16 \Rightarrow r = 4$ .
$x = 1$ , $y = 5$ , $z = 9$ .

Odpowiedź: $x = 1$ , $y = 5$ , $z = 9$

Przykład 3

Wyraz i różnica

Ciąg arytmetyczny ma różnicę $3$ oraz $a_{12} = 30$ . Oblicz $a_5$ .

$a_5 = a_{12} - 7r = 30 - 21 = 9$ .

Odpowiedź: $9$

Typowe błędy

Liczenie kroków jako $k - m + 1$ zamiast $k - m$ .
Dodanie różnicy zamiast odjęcia przy cofaniu się do wcześniejszego wyrazu.

Na maturze

Koniec lekcji

Oznacz ją jako przeczytaną, żeby odblokować zadania.