Suma ciągu arytmetycznego

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Suma stu początkowych wyrazów jest równa”, „Suma $n$ początkowych wyrazów jest równa $57$ dla $n$ równego”, „ $a_3 = -1$ , $S_{15} = -165$ . Oblicz różnicę”.

Suma ciągu arytmetycznegona karcie wzorów

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2}\cdot n

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Wybierz wzór
Znasz $a_n$ – pierwszy; znasz $r$ – drugi.
2
Podstaw
Lub ułóż równanie (szukane n, r, a₁).
3
Przy szukaniu n – równanie kwadratowe
n musi być naturalne.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Suma z rekurencji

$a_1 = 5$ , $a_{n+1} = a_n + 2$ . Oblicz $S_{100}$ .

Ciąg arytmetyczny, $r = 2$ : $S_{100} = \frac{2\cdot 5 + 99\cdot 2}{2}\cdot 100$ .
$= \frac{208}{2}\cdot 100 = 10\,400$ .

Odpowiedź: $10\,400$

Przykład 2

Liczba wyrazów

Dla ciągu $a_n = 2n + 1$ wyznacz $n$ , dla którego $S_n = 63$ .

$S_n = \frac{3 + 2n + 1}{2}\cdot n = n(n + 2)$ .
$n^2 + 2n - 63 = 0$ , $\Delta = 256$ , $n = \frac{-2 + 16}{2} = 7$ .

Odpowiedź: $n = 7$

Przykład 3

Układ z sumą

W ciągu arytmetycznym $a_2 = 5$ i $S_{10} = 120$ . Wyznacz $a_1$ i $r$ .

$S_{10} = 5(2a_1 + 9r) = 120 \Rightarrow 2a_1 + 9r = 24$ .
$a_1 = 5 - r$ : $10 - 2r + 9r = 24 \Rightarrow r = 2$ , $a_1 = 3$ .

Odpowiedź: $a_1 = 3$ , $r = 2$

Typowe błędy

$(n - 1)$ zamiast $n$ na końcu wzoru.
Podanie ujemnego $n$ z równania kwadratowego.