Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Ciąg $(-1, 2, x)$ jest arytmetyczny, a $(-1, 2, y)$ – geometryczny. Liczby $x$ i $y$ spełniają…”
„Ciąg $a_n = 3n + 5$ . Ciąg $(a_1, a_9, a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$ .”
„Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny, a po dodaniu do nich… – geometryczny.”

Używasz obu warunków: $2b = a + c$ dla arytmetycznego i $b^2 = ac$ dla geometrycznego. Trzy liczby arytmetyczne wygodnie zapisać jako $a - r$ , $a$ , $a + r$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Rozpisz, co jest arytmetyczne, a co geometryczne
Osobno dla każdego ciągu.
2
Zapisz warunki
2b = a + c oraz b² = ac.
3
Rozwiąż układ
Zwykle jedno równanie kwadratowe.
4
Sprawdź oba rozwiązania
Wypisz liczby i sprawdź oba ciągi.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

x i y

Ciąg $(-1, 2, x)$ jest arytmetyczny, a $(-1, 2, y)$ – geometryczny. Wyznacz $x$ i $y$ .

Arytmetyczny: $r = 3$ , $x = 5$ .
Geometryczny: $q = -2$ , $y = -4$ .

Odpowiedź: $x = 5$ , $y = -4$

Przykład 2

Wyrazy ciągu arytmetycznego tworzą geometryczny

Ciąg $a_n = 2n + 1$ . Ciąg $(a_1, a_4, a_k)$ jest geometryczny. Oblicz $k$ .

$a_1 = 3$ , $a_4 = 9$ , więc $q = 3$ i $a_k = 27$ .
$2k + 1 = 27 \Rightarrow k = 13$ .

Odpowiedź: $k = 13$

Przykład 3

Klasyka: trzy liczby

Trzy liczby o sumie $15$ tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do nich dodamy odpowiednio $1$ , $4$ i $19$ , otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

$(5 - r, 5, 5 + r)$ , bo $3\cdot 5 = 15$ .
Geometryczny: $(6 - r, 9, 24 + r)$ : $81 = (6 - r)(24 + r) \Rightarrow r^2 + 18r - 63 = 0$ .
$\Delta = 576$ : $r = 3$ lub $r = -21$ .
$r = 3$ : $2, 5, 8$ (geometryczny $3, 9, 27$ ). $r = -21$ : $26, 5, -16$ (geometryczny $27, 9, 3$ ).

Odpowiedź: $2, 5, 8$ lub $26, 5, -16$

Typowe błędy

Pomylenie warunków obu ciągów.
Odrzucenie poprawnego drugiego rozwiązania bez sprawdzenia.