Ciąg arytmetyczny w zadaniach tekstowych

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o $30$ zł”, „w każdym kolejnym rzędzie jest o $2$ krzesła więcej” – stała zmiana o liczbę = ciąg arytmetyczny. Pytania o pierwszy wyraz, ostatni wyraz albo łączną sumę.

$a_1$ – pierwsza rata / pierwszy rząd; $r$ – zmiana (ujemna, gdy maleje).
„Łącznie”, „razem”, „cała kwota” – to suma $S_n$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Ustal a₁, r, n
I co jest szukane.
2
Zapisz sumę lub wyraz
Np. $S_{18} = \frac{2a_1 + 17r}{2}\cdot 18$ .
3
Rozwiąż i odpowiedz
Z jednostkami.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Raty

Pożyczkę spłacono w $12$ ratach, z których każda kolejna była o $20$ zł mniejsza od poprzedniej. Suma rat wyniosła $4680$ zł. Oblicz pierwszą ratę.

$r = -20$ , $n = 12$ : $S_{12} = \frac{2a_1 - 220}{2}\cdot 12 = 6(2a_1 - 220)$ .
$6(2a_1 - 220) = 4680 \Rightarrow 2a_1 - 220 = 780 \Rightarrow a_1 = 500$ .

Odpowiedź: $500$ zł

Przykład 2

Amfiteatr

W pierwszym rzędzie jest $20$ miejsc, a w każdym kolejnym o $2$ więcej. Ile miejsc jest w $15$ rzędach?

$a_{15} = 20 + 14\cdot 2 = 48$ .
$S_{15} = \frac{20 + 48}{2}\cdot 15 = 510$ .

Odpowiedź: $510$

Przykład 3

Liczba dni

Biegacz pierwszego dnia przebiegł $2$ km, a każdego kolejnego o $0{,}5$ km więcej. Po ilu dniach łączny dystans wyniesie $30$ km?

$S_n = \frac{4 + 0{,}5(n - 1)}{2}\cdot n = 30 \Rightarrow n(3{,}5 + 0{,}5n) = 60$ .
$n^2 + 7n - 120 = 0$ , $\Delta = 529$ , $n = \frac{-7 + 23}{2} = 8$ .

Odpowiedź: po $8$ dniach

Typowe błędy

Dodatnia różnica przy malejących ratach.
Pytają o sumę, a podana jest ostatnia rata (lub odwrotnie).