Ciągi · typ zadania · temat 1 z 3

Ciąg rekurencyjny

Ciąg określony wzorem $a_{n+1} = \ldots$ – liczenie kolejnych wyrazów i rozpoznawanie, kiedy jest arytmetyczny lub geometryczny.

5 min czytania

Teoria do tego typu zadań: Ciągi – wzór ogólny i rekurencyjny

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Ciąg jest określony wzorami $a_1 = 2$ oraz $a_{n+1} = 2a_n + 1$ . Trzeci wyraz jest równy”, „Oceń: ciąg jest arytmetyczny”.

Wyrazy liczysz po kolei: z $a_1$ dostajesz $a_2$ , z $a_2$ – $a_3$ .
$a_{n+1} = a_n + r$ – ciąg arytmetyczny o różnicy $r$ .
$a_{n+1} = q\cdot a_n$ – ciąg geometryczny o ilorazie $q$ .
$a_{n+1} = 2a_n + 1$ – ani taki, ani taki (sprawdź na wyrazach).

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Zacznij od a₁
Podstawiaj do wzoru rekurencyjnego.
2
Licz kolejno
Aż do szukanego wyrazu.
3
Sprawdź różnice i ilorazy
Jeśli pytają o rodzaj ciągu.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Kolejne wyrazy

$a_1 = 2$ , $a_{n+1} = 2a_n + 1$ . Oblicz $a_3$ i oceń, czy ciąg jest arytmetyczny.

$a_2 = 2\cdot 2 + 1 = 5$ , $a_3 = 2\cdot 5 + 1 = 11$ .
$a_2 - a_1 = 3$ , $a_3 - a_2 = 6$ – różnice różne, nie jest arytmetyczny.

Odpowiedź: $a_3 = 11$ ; nie jest arytmetyczny

Przykład 2

Rekurencja arytmetyczna

$a_1 = 2$ , $a_{n+1} = a_n - 6$ . Oblicz $a_5$ .

To ciąg arytmetyczny o $r = -6$ : $a_5 = 2 + 4\cdot(-6) = -22$ .

Odpowiedź: $-22$

Typowe błędy

Podstawienie $n$ zamiast poprzedniego wyrazu.
Uznanie ciągu za arytmetyczny na podstawie jednej różnicy.

Na maturze

Koniec lekcji

Oznacz ją jako przeczytaną, żeby odblokować zadania.