Własności ciągu – znak, monotoniczność, (−1)ⁿ

Spis treści

Co musisz wiedzieć

„Ciąg $a_n = 2n^2 + n$ . Oceń prawdziwość: ciąg jest malejący; $a_8 = 136$ ”, „Ciąg $a_n = 3\cdot(-1)^n + 10$ jest geometryczny – P/F”.

Własność	Jak sprawdzić
rosnący / malejący	znak różnicy $a_{n+1} - a_n$ dla każdego $n$
arytmetyczny	$a_{n+1} - a_n$ jest stałą liczbą
geometryczny	$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ jest stałą liczbą
z czynnikiem $(-1)^n$	wyrazy zmieniają znak lub „skaczą” – nie jest monotoniczny

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

Przykład 1

Monotoniczność ze wzoru

Czy ciąg $a_n = 2n^2 + n$ jest rosnący?

Odpowiedź: tak, rosnący

Przykład 2

Ciąg z (−1)ⁿ

Ciąg $a_n = 3\cdot(-1)^n + 10$ . Oceń: (1) ciąg jest geometryczny; (2) suma ośmiu początkowych wyrazów jest równa $80$ .

Wyrazy: $7, 13, 7, 13, \ldots$ . Ilorazy: $\frac{13}{7}$ i $\frac{7}{13}$ – różne. (1) fałsz.
Cztery pary $7 + 13 = 20$ : suma $80$ . (2) prawda.

Odpowiedź: F, P

Przykład 3

Rozpoznanie ciągu arytmetycznego

Czy ciąg $a_n = 5 - 3n$ jest arytmetyczny? Jaki jest jego rodzaj monotoniczności?

Odpowiedź: arytmetyczny, $r = -3$ , malejący

Ocena monotoniczności tylko na podstawie dwóch pierwszych wyrazów, gdy ciąg ma czynnik (−1)ⁿ.
Uznanie ciągu stałego za geometryczny i arytmetyczny jednocześnie bez sprawdzenia warunków zadania (stały niezerowy ciąg jest oboma).