Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Liczba $(\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{12}$ jest równa”, „Wartość wyrażenia $x^2 + 10x + 25$ dla $x = \sqrt{2} - 5$ jest równa”, „Liczba $(\pi + 1)^2 - (\pi - 1)^2$ jest równa”.

• $(\sqrt{a})^2 = a$, więc $(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1$.
• $(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2$ – pierwiastki znikają.
• Zanim podstawisz liczbę do wyrażenia, zwiń wyrażenie: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1. 1

   Rozpoznaj wzór

   Kwadrat sumy/różnicy, różnica kwadratów, różnica dwóch kwadratów ($4ab$).

2. 2

   Licz każdy kawałek

   $a^2$, $2ab$, $b^2$ – osobno, potem dodaj. $2\cdot 2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2} = 4\sqrt{20} = 8\sqrt{5}$.

3. 3

   Upraszczaj pierwiastki

   $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ – często się wtedy skracają.

Rozwiązane przykłady

Typowe błędy

• ✗$(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 1 = 4$ – zgubiony podwojony iloczyn $2\sqrt{3}$.
• ✗Podstawianie liczby z pierwiastkiem do rozwiniętego wyrażenia zamiast do zwiniętego – dużo rachunków i łatwo o błąd.

Na maturze