Dowody z wzorami skróconego mnożenia

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^2 - 8x + 17 > 0$ .”
„Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2 + b^2 + 2 \ge 2a + 2b$ .”
„Wykaż, że liczba $2501^4 - 2499^4$ jest podzielna przez $10\,000$ .”

Nierówności: wszystko do kwadratów

Przenieś wszystko na jedną stronę i zapisz wyrażenie jako sumę kwadratów (plus ewentualnie liczbę dodatnią). Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: $(\ldots)^2 \ge 0$ – to kończy dowód.

$x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2$ – szukasz „brakującego” kwadratu.
$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0$ , czyli $a^2 + b^2 \ge 2ab$ .
Ułamki: pomnóż przez dodatni mianownik (np. $a > 0$ ) – znak nierówności się nie zmienia.

Duże liczby: różnica kwadratów

$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$ . Dla $2501$ i $2499$ : $a - b = 2$ , $a + b = 5000$ , więc $a^2 - b^2 = 10\,000$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Przenieś wszystko na jedną stronę
$a^2 + b^2 + 2 - 2a - 2b \ge 0$ .
2
Pogrupuj wyrazy
$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1)$ – liczbę $2$ rozbij na $1 + 1$ .
3
Zwiń do kwadratów
$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$ .
4
Uzasadnij i zakończ
Suma kwadratów jest nieujemna, więc nierówność jest prawdziwa dla wszystkich a, b.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Trójmian zawsze dodatni

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^2 - 8x + 17 > 0$ .

$17 = 16 + 1$ , więc $x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 8x + 16) + 1 = (x - 4)^2 + 1$ .
$(x - 4)^2 \ge 0$ , zatem $(x - 4)^2 + 1 \ge 1 > 0$ .

Odpowiedź: $x^2 - 8x + 17 = (x - 4)^2 + 1 > 0$ dla każdego $x$ .

Przykład 2

Dwie zmienne

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2 + b^2 + 2 \ge 2a + 2b$ .

Przenosimy: $a^2 - 2a + b^2 - 2b + 2 \ge 0$ .
$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$ , czyli $(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$ .
Suma dwóch kwadratów jest nieujemna – nierówność jest prawdziwa.

Odpowiedź: $(a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0$ – co kończy dowód.

Przykład 3

Nierówność z ułamkiem

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $a$ prawdziwa jest nierówność $a + \frac{1}{a} \ge 2$ .

$a > 0$ , więc mnożymy obie strony przez $a$ bez zmiany znaku: $a^2 + 1 \ge 2a$ .
$a^2 - 2a + 1 \ge 0$ , czyli $(a - 1)^2 \ge 0$ – prawda.
Przekształcenia były równoważne, więc nierówność wyjściowa jest prawdziwa.

Odpowiedź: $a + \frac{1}{a} \ge 2 \iff (a - 1)^2 \ge 0$ .

Przykład 4

Podzielność dużej liczby

Wykaż, że liczba $1003^2 - 997^2$ jest podzielna przez $12\,000$ .

Różnica kwadratów: $1003^2 - 997^2 = (1003 - 997)(1003 + 997)$ .
$= 6\cdot 2000 = 12\,000$ .

Odpowiedź: $1003^2 - 997^2 = 12\,000$ – jest podzielna przez $12\,000$ .

Typowe błędy

Sprawdzanie nierówności dla kilku liczb zamiast dowodu ogólnego.
Mnożenie przez $a$ bez założenia, że $a > 0$ – dla ujemnego $a$ znak nierówności się odwraca.
Rozpoczynanie od tezy i dojście do prawdy bez zaznaczenia, że przekształcenia są równoważne.
Liczenie $2501^4$ „na piechotę” zamiast skorzystać z różnicy kwadratów.