„Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia (3x+2)2−(2x−3)2 jest równa wartości wyrażenia…”, „Wyrażenie 9−(x2−2xy+y2) jest równe – wybierz dwie odpowiedzi”.
Dwie drogi
Rozwiń oba kwadraty i zredukuj. Pamiętaj, że minus przed nawiasem zmienia wszystkie znaki w nawiasie.
Różnica kwadratówA2−B2=(A−B)(A+B), gdzie A i B to całe nawiasy. Często szybsza i daje od razu postać iloczynową.
Schemat krok po kroku
Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:
1
Rozpoznaj strukturę
Kwadrat minus kwadrat? Trzy wyrazy, które są pełnym kwadratem (x2−2xy+y2)?
2
Wybierz drogę
Rozwinięcie – gdy odpowiedzi są sumami; różnica kwadratów – gdy odpowiedzi są iloczynami.
3
Licz w nawiasach
Najpierw rozwiń kwadrat w nawiasie, dopiero potem opuść nawias z minusem.
4
Sprawdź liczbą
Podstaw np. x=1 do wyrażenia wyjściowego i do wyniku – wartości muszą się zgadzać.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1
Kwadrat sumy minus kwadrat różnicy
Wyrażenie (2x+5)2−(2x−5)2 jest równe
Rozwijamy: (4x2+20x+25)−(4x2−20x+25).
Opuszczamy nawias ze znakiem minus: 4x2+20x+25−4x2+20x−25=40x.
Kontrola wzorem 4ab: 4⋅2x⋅5=40x.
Odpowiedź: 40x
Przykład 2
Różne nawiasy
Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia (x+3)2−(2x−1)2 jest równa wartości wyrażenia
(x+3)2=x2+6x+9, (2x−1)2=4x2−4x+1.
x2+6x+9−4x2+4x−1=−3x2+10x+8.
Albo różnica kwadratów: (x+3−2x+1)(x+3+2x−1)=(4−x)(3x+2).
Obie postacie są poprawne – wybierz tę, która jest wśród odpowiedzi.
Odpowiedź: −3x2+10x+8=(4−x)(3x+2)
Przykład 3
Zwijanie do iloczynu
Wyrażenie 16−(x2+2xy+y2) jest równe
W nawiasie jest pełny kwadrat: x2+2xy+y2=(x+y)2.
16−(x+y)2=42−(x+y)2=(4−x−y)(4+x+y).
Uwaga na znak: 4−(x+y)=4−x−y.
Odpowiedź: (4−x−y)(4+x+y)
Typowe błędy
✗(a−b)2=a2−b2 – pominięcie podwojonego iloczynu.
✗Zmiana znaku tylko przy pierwszym wyrazie po minusie przed nawiasem.
✗(3x)2=3x2 – kwadrat obejmuje też współczynnik: 9x2.
Na maturze
Koniec lekcji
Oznacz ją jako przeczytaną, żeby odblokować zadania.