Co musisz wiedzieć Jak rozpoznać to zadanie „Wielomian W ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 3 x + 6 W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6 W ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 3 x + 6 x x x x 3 − 2 x 2 + x x^3 - 2x^2 + x x 3 − 2 x 2 + x
Kolejność narzędzi 1. Wspólny czynnik x 3 − 2 x 2 + x = x ( x 2 − 2 x + 1 ) x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) x 3 − 2 x 2 + x = x ( x 2 − 2 x + 1 ) 2. Wzory skróconego mnożenia x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1 ) 2 x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1 ) 2 x 2 − 9 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) x 2 − 9 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) 3. Grupowanie x 3 − 2 x 2 − 3 x + 6 = x 2 ( x − 2 ) − 3 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x 2 − 3 ) x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = x^2(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 3) x 3 − 2 x 2 − 3 x + 6 = x 2 ( x − 2 ) − 3 ( x − 2 ) = ( x − 2 ) ( x 2 − 3 ) 4. Trójmian kwadratowy x 2 − x − 6 = ( x − 3 ) ( x + 2 ) x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) x 2 − x − 6 = ( x − 3 ) ( x + 2 ) Warto wiedzieć
x 2 − 3 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) x 2 − 3 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) x 2 + 4 x^2 + 4 x 2 + 4 x 2 + 2 x + 3 x^2 + 2x + 3 x 2 + 2 x + 3 Schemat krok po kroku Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:
1 Wyłącz wspólny czynnik
Zawsze zaczynaj od tego.
2 Przy 4 wyrazach – grupuj parami
Dobierz pary tak, by w obu nawiasach wyszło to samo. Z drugiej pary często wyłączasz liczbę ujemną
3 Rozkładaj dalej
Różnica kwadratów, kwadrat sumy/różnicy, delta.
4 Sprawdź
Podstaw x = 1 x = 1 x = 1
Rozwiązane przykłady Rozłóż na czynniki x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12 x^3 + 3x^2 - 4x - 12 x 3 + 3 x 2 − 4 x − 12
x 2 ( x + 3 ) − 4 ( x + 3 ) x^2(x + 3) - 4(x + 3) x 2 ( x + 3 ) − 4 ( x + 3 )
Z drugiej pary wyłączamy − 4 -4 − 4 x + 3 x + 3 x + 3
( x + 3 ) ( x 2 − 4 ) = ( x + 3 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) (x + 3)(x^2 - 4) = (x + 3)(x - 2)(x + 2) ( x + 3 ) ( x 2 − 4 ) = ( x + 3 ) ( x − 2 ) ( x + 2 )
Odpowiedź: ( x + 3 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) (x + 3)(x - 2)(x + 2) ( x + 3 ) ( x − 2 ) ( x + 2 )
Przykład 2
Wyłączenie i kwadrat
Wyrażenie x 3 − 6 x 2 + 9 x x^3 - 6x^2 + 9x x 3 − 6 x 2 + 9 x
x ( x 2 − 6 x + 9 ) x(x^2 - 6x + 9) x ( x 2 − 6 x + 9 )
x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2 x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3 ) 2
Odpowiedź: x ( x − 3 ) 2 x(x - 3)^2 x ( x − 3 ) 2
Przykład 3
Czynnik bez pierwiastków
Rozłóż na czynniki x 4 − 16 x^4 - 16 x 4 − 16
( x 2 ) 2 − 4 2 = ( x 2 − 4 ) ( x 2 + 4 ) (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) ( x 2 ) 2 − 4 2 = ( x 2 − 4 ) ( x 2 + 4 )
x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x 2 + 4 x^2 + 4 x 2 + 4
Odpowiedź: ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 ) (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 4 )
Przykład 4
Wyłączenie i delta
Rozłóż na czynniki 2 x 3 − 2 x 2 − 12 x 2x^3 - 2x^2 - 12x 2 x 3 − 2 x 2 − 12 x
2 x ( x 2 − x − 6 ) 2x(x^2 - x - 6) 2 x ( x 2 − x − 6 )
Δ = 1 + 24 = 25 \Delta = 1 + 24 = 25 Δ = 1 + 24 = 25 x 1 = 1 − 5 2 = − 2 x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 x 1 = 2 1 − 5 = − 2 x 2 = 1 + 5 2 = 3 x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 x 2 = 2 1 + 5 = 3
x 2 − x − 6 = ( x + 2 ) ( x − 3 ) x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3) x 2 − x − 6 = ( x + 2 ) ( x − 3 )
Odpowiedź: 2 x ( x + 2 ) ( x − 3 ) 2x(x + 2)(x - 3) 2 x ( x + 2 ) ( x − 3 )
Typowe błędy ✗ Zły znak przy wyłączaniu z drugiej pary: − 4 x − 12 = − 4 ( x − 3 ) -4x - 12 = -4(x - 3) − 4 x − 12 = − 4 ( x − 3 ) − 4 ( x + 3 ) -4(x + 3) − 4 ( x + 3 ) ✗ Zgubienie czynnika liczbowego (np. 2 2 2 ✗ Kończenie rozkładu za wcześnie – x 2 − 4 x^2 - 4 x 2 − 4