Wielomian z parametrem i pierwiastek wielomianu

Spis treści

1.Co musisz wiedzieć
2.Schemat krok po kroku
3.Rozwiązane przykłady
4.Typowe błędy
5.Na maturze

Co musisz wiedzieć

Jak rozpoznać to zadanie

„Liczba $(-2)$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = 3x^3 + kx^2 - 12x - 7k + 12$ . Liczba $k$ jest równa”.
„Wielomian $W$ można zapisać w postaci $W(x) = (x + 1)\cdot Q(x)$ . Liczba $k$ jest równa”.

Kluczowy fakt

Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu, gdy $W(a) = 0$ . Jeśli $W(x) = (x - a)\cdot Q(x)$ , to po podstawieniu $x = a$ prawa strona jest zerem, więc też $W(a) = 0$ .

Schemat krok po kroku

Tak rozwiązujesz typowe zadanie z tego tematu:

1
Ustal pierwiastek
Z czynnika $(x - a)$ lub wprost z treści.
2
Podstaw do wielomianu
Policz $W(a)$ – parametr zostaje jako niewiadoma.
3
Przyrównaj do zera
$W(a) = 0$ – rozwiąż równanie z parametrem.
4
Jeśli trzeba – rozłóż wielomian
Z obliczonym parametrem znajdź pozostałe pierwiastki (np. grupowaniem).

Rozwiązane przykłady

Przykład 1

Parametr z pierwiastka

Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 + kx^2 - 4x + 8$ . Wyznacz $k$ .

$W(2) = 8 + 4k - 8 + 8 = 4k + 8$ .
$4k + 8 = 0 \iff k = -2$ .

Odpowiedź: $k = -2$

Przykład 2

Postać z czynnikiem

Wielomian $W(x) = 2x^3 + mx^2 - 5x + 6$ można zapisać w postaci $W(x) = (x + 2)\cdot Q(x)$ . Wyznacz $m$ .

Czynnik $(x + 2)$ oznacza, że $W(-2) = 0$ .
$W(-2) = 2\cdot(-8) + 4m + 10 + 6 = 4m$ .
$4m = 0 \iff m = 0$ .

Odpowiedź: $m = 0$

Przykład 3

Parametr, a potem pozostałe pierwiastki

Liczba $3$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^3 - 3x^2 + mx - 12$ . Wyznacz $m$ i wszystkie pierwiastki $W$ .

$W(3) = 27 - 27 + 3m - 12 = 3m - 12 = 0$ , więc $m = 4$ .
$W(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = x^2(x - 3) + 4(x - 3) = (x - 3)(x^2 + 4)$ .
$x^2 + 4 > 0$ , więc innych pierwiastków nie ma.

Odpowiedź: $m = 4$ , jedyny pierwiastek: $x = 3$

Typowe błędy

Podstawienie $x = 2$ zamiast $x = -2$ przy czynniku $(x + 2)$ .
Błędy rachunkowe przy potęgach liczb ujemnych: $(-2)^3 = -8$ , $(-2)^2 = 4$ .